§4任意项级数 任意项级数 个级数,如果只有有限个负项或有限个正项,都可以用正项级 数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项, 又有无限个负项,那么正项级数的各种判别法不再适用 这样的级数,即通项任意地可正或可负的级数,称为任意项级数
任意项级数 一个级数，如果只有有限个负项或有限个正项，都可以用正项级 数的各种判别法来判断它的收敛性。如果一个级数既有无限个正项， 又有无限个负项，那么正项级数的各种判别法不再适用。 这样的级数，即通项任意地可正或可负的级数，称为任意项级数。 §4 任意项级数
定理94.1(级数的 Cauchy收敛原理)级数∑xn收敛的充分 必要条件是:对任意给定的>0,存在正整数N,使得 xn+1+xn+2+ x x2|<E 对一切m>n>N成立。 定理结论还可以叙述为:对任意给定的>0,存在正整数N,使 得 lxm+x2+…+xm1= Xmk<8 k=1 对一切n>N与一切正整数p成立
定理 9.4.1（级数的 Cauchy 收敛原理） 级数 n=1 n x 收敛的充分 必要条件是：对任意给定的 0，存在正整数 N，使得 ｜xn+1 + xn+2 + … + xm｜= = + m k n k x 1 对一切 m n N 成立。 定理结论还可以叙述为：对任意给定的 0，存在正整数 N，使 得 ｜xn+1+ xn+2 + … + xn+p｜= = + p k n k x 1 对一切 n N 与一切正整数 p 成立
定理94.1(级数的 Cauchy收敛原理)级数∑xn收敛的充分 必要条件是:对任意给定的>0,存在正整数N,使得 xn+1+xn+2+ x x2|<E 对一切m>n>N成立。 定理结论还可以叙述为:对任意给定的>0,存在正整数N,使 得 lxm+x2+…+xm1= k=1 对一切n>N与一切正整数p成立。 取p=1,上式即为|xn+1|<E,于是就得到级数收敛的必要条 件 limx=0
取 p = 1，上式即为｜xn+1｜ ，于是就得到级数收敛的必要条 件lim n→ xn = 0。 定理 9.4.1（级数的 Cauchy 收敛原理） 级数 n=1 n x 收敛的充分 必要条件是：对任意给定的 0，存在正整数 N，使得 ｜xn+1 + xn+2 + … + xm｜= = + m k n k x 1 对一切 m n N 成立。 定理结论还可以叙述为：对任意给定的 0，存在正整数 N，使 得 ｜xn+1+ xn+2 + … + xn+p｜= = + p k n k x 1 对一切 n N 与一切正整数 p 成立
Leibniz级数 定义941如果级数∑x1=∑(-1)n(l>0),则称此级数为 交错级数。 进一步,若级数∑(-1yun(lm>0)满足{硎}单调减少且收敛 于0,则称这样的交错级数为 Leibniz级数
Leibniz 级数 定义 9.4.1 如果级数 n=1 n x = = + − 1 1 ( 1) n n n u （un 0），则称此级数为 交错级数。 进一步，若级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u （un 0）满足｛un｝单调减少且收敛 于 0，则称这样的交错级数为 Leibniz 级数
Leibniz级数 定义941如果级数∑x1=∑(-1)n(l>0),则称此级数为 交错级数。 进一步,若级数∑(-1yun(lm>0)满足{硎}单调减少且收敛 于0,则称这样的交错级数为 Leibniz级数。 定理94,2( Leibniz判别法) Leibniz级数必定收敛 证首先有 xn+1+xn+2+……+xnp Ln+1-ln+2+1n+3 当p是奇数时, Lt+1-n+2+n+3 un ln+2)+(l n+3 n+4 ∴ P ln+n)≤ln
定理 9.4.2（Leibniz 判别法） Leibniz 级数必定收敛。 证 首先有 ｜xn+1 + xn+2 + … + xn+p｜ = ｜un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1 un+p｜。 当 p 是奇数时， un+1 - un+2 +un+3 - … + (- 1)p+1 un+p = − − − − − − + − + + + + + + − + + + + + + + ( ) ( ) ; ( ) ( ) 0, 1 2 3 1 1 1 2 3 4 n n n n p n p n n n n n n p u u u u u u u u u u u Leibniz 级数 定义 9.4.1 如果级数 n=1 n x = = + − 1 1 ( 1) n n n u （un 0），则称此级数为 交错级数。 进一步，若级数 = + − 1 1 ( 1) n n n u （un 0）满足｛un｝单调减少且收敛 于 0，则称这样的交错级数为 Leibniz 级数