§2反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy收敛原理 下面以∫f(x减x为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分∫f(x)d收敛即为极限 limf(x)dx存在,因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy收敛原理,它可以 表述为如下形式:
反常积分的 Cauchy 收敛原理 下面以 ( )d a f x x + 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分 ( )d a f x x + 收敛即为极限 lim A→+ ( )d A a f x x 存在，因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式： §2 反常积分的收敛判别法
§2反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy收敛原理 下面以∫f(x减x为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分∫f(x)d收敛即为极限lmJf(x)x存在,因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy收敛原理,它可以 表述为如下形式: 定理821( auchy收敛原理)反常积分∫厂(x减收敛的充 分必要条件是:对任意给定的E>0,存在A≥a,使得对任意A,A≥A, 有 f(x)dx<8
定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理） 反常积分 ( )d a f x x + 收敛的充 分必要条件是：对任意给定的 0，存在 A0 a ，使得对任意 A, A A0， 有 ( )d A A f x x 。 §2 反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy 收敛原理 下面以 ( )d a f x x + 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分 ( )d a f x x + 收敛即为极限 lim A→+ ( )d A a f x x 存在，因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式：
定义8.2.1设f(x)在任意有限区间[a,4]c{a,+∞)上可积,且 ∫。1f(x)dx收敛,则称∫f(xd绝对收敛(或称f(x)在a+∞)上绝对 可积)。 若f(x)x收敛而非绝对收敛,则称∫f(x)dx条件收敛(或称 f(x)在{a,+∞)上条件可积)
定 义 8.2.1 设 f (x) 在任意有限区间 [a, A] [a,+) 上可积，且 | ( ) | d a f x x + 收 敛，则 称 ( )d a f x x + 绝对收敛（或称 f (x)在[a,+)上绝 对 可积）。 若 ( )d a f x x + 收敛而非绝对收敛，则称 ( )d a f x x + 条件收敛（或 称 f (x)在[a,+)上条件可积）
推论若反常积分∫。f(x)dx绝对收敛,则它一定收敛。 证对任意给定的c>0,由于∫(x)dx收敛,所以存在A≥a, 使得对任意A,A≥A,成立 f(x) dx 利用定积分的性质,得到 f(x)dx≤.|f(x)|dx< 由 Cauchy收敛原理,可知∫f(x)x收敛
推论 若反常积分 ( )d a f x x + 绝对收敛，则它一定收敛。 证 对任意给定的 0，由于 | ( ) | d a f x x + 收敛，所以存在 A0 a ， 使得对任意 A, A A0 ，成立 | ( ) | d A A f x x 。 利用定积分的性质，得到( )d A A f x x | ( ) | d A A f x x ， 由 Cauchy 收敛原理，可知 ( )d a f x x + 收敛
虽然 Cauchy收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件, 但是对于具体的反常积分,在使用上往往比较困难,因此需要导出一 些便于使用的收敛判别法。 我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法 非负函数反常积分的收敛判别法 定理8.2.2(比较判别法)设在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤K(x),其 中K是正常数。则 (1)当∫。(x)dx收敛时∫f(xx也收敛 (2)当∫f(x)dx发散时∫xdx也发散
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件， 但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一 些便于使用的收敛判别法。 我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。 非负函数反常积分的收敛判别法 定理 8.2.2（比较判别法） 设在[ , ) a + 上恒有0 f (x) K(x)，其 中K 是正常数。则 （1）当 ( )d a x x + 收敛时 ( )d a f x x + 也收敛； （2）当 ( )d a f x x + 发散时 ( )d a x x + 也发散