§3微积分基本定理 从实例看微分与积分的联系 到目前为止,我们已详细介绍了微分与积分(这里专指定积分) 的基本概念,但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上,揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备,可以为这两个重要的概念建立桥梁了
从实例看微分与积分的联系 到目前为止，我们已详细介绍了微分与积分（这里专指定积分） 的基本概念，但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上，揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备，可以为这两个重要的概念建立桥梁了。 §3 微积分基本定理
先来看一个颇具启发性的例子。在引入定积分定义时我们已经知 道,以速度v()作变速运动的物体,在时间段[T,写2]中所走过的路程S可 以表示为定积分 S=lim∑v(5)△1=w()dt →0 但是这个和式的极限一般来说是很难求的。 让我们换一个角度考虑问题:设物体在时间段0,所走过的路程 为S(t),那么它在时间段[T1,2]所走过的路程可以表示为 S=S(72)-S(7) 于是就有 v()dt=S(72)-S(71)。 注意到v(t)=S(1),或者说S()是v()的一个原函数,于是上式说明了, v(n)在区间[,T2]上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点 处的函数值之差来表示
先来看一个颇具启发性的例子。在引入定积分定义时我们已经知 道，以速度v(t)作变速运动的物体，在时间段[T , T ] 1 2 中所走过的路程S 可 以表示为定积分 2 0 1 1 lim ( ) ( )d n T i i T i S v t v t t → = = = ， 但是这个和式的极限一般来说是很难求的。 让我们换一个角度考虑问题：设物体在时间段[0, t]所走过的路程 为S(t)，那么它在时间段[T , T ] 1 2 所走过的路程可以表示为 S = S(T ) − S(T ) 2 1 ， 于是就有 2 1 ( )d T T v t t = S(T ) − S(T ) 2 1 。 注意到v(t) = S (t)，或者说S(t)是v(t)的一个原函数，于是上式说明了， v(t)在区间[T , T ] 1 2 上的积分值可以用它的一个原函数在区间的两个端点 处的函数值之差来表示
微积分基本定理一 Newton- Leibniz公式 设f(x)在区间ab上可积,由定积分的区间可加性,可知对任意 xeab,积分∫(0存在。当x在ab中变化时,∫f(的值也随之 而变化,所以它是定义在[a,b上的关于x的函数。这个函数具有如下 的重要性质:
微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式 设 f (x)在区间[a, b]上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意 x [a, b]，积分 ( )d x a f t t 存在。当x 在[a, b]中变化时， ( )d x a f t t 的值也随之 而变化，所以它是定义在[a, b]上的关于 x 的函数。这个函数具有如下 的重要性质：
微积分基本定理一 Newton- Leibniz公式 设f(x)在区间ab上可积,由定积分的区间可加性,可知对任意 xeab,积分∫(0存在。当x在ab中变化时,∫f(的值也随之 而变化,所以它是定义在[a,b上的关于x的函数。这个函数具有如下 的重要性质: 定理7.3.1设f(x)在b上可积,作函数 F(x)=f(0)d,x∈[ab], (1)F(x)是[a,b]上的连续函数 (2)若f(x)在an,b上连续,则F(x)在[a,b]上可微,且有 F'(x)=f(x)
定理 7.3.1 设 f (x) 在 [a, b] 上可积，作函数 ( ) ( )d , [ , ] x a F x f t t x a b = ， 则 ⑴ F(x)是[a, b]上的连续函数； ⑵ 若 f (x)在[a, b]上连续，则F(x)在[a, b]上可微，且有 F(x) = f (x)。 微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式 设 f (x)在区间[a, b]上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意 x [a, b]，积分 ( )d x a f t t 存在。当x 在[a, b]中变化时， ( )d x a f t t 的值也随之 而变化，所以它是定义在[a, b]上的关于 x 的函数。这个函数具有如下 的重要性质：
证由定积分的区间可加性, x+△r F(x+Ax)-F(x)= f(t dt- f(t)dt 记m、M分别为f(x)在[a,b上的最小值和最大值,由积分第一中值定 理,得到 ·Ax(∈[m,M门) 若f(x)在[a,b上可积, F(x+△x)-F(x)= f()·Ax(在x与x+Ax之间,若f(x)在[a,b上连续。 显然,不管在哪一种情况下,当Ax→0时都有F(x+Ax)-F(x)→0, 即F(x)在[a,b上连续 若f(x)在{ab连续,当Ax→>0时有ξ→x,因而f()→f(x),于是 F(x)=lim F(x+△x)-F(x) lim f(s=f(x) Ax→0 Ax→0
证 由定积分的区间可加性， ( ) ( ) ( )d ( )d ( )d x x x x x a a x F x x F x f t t f t t f t t + + + − = − = 。 记 m、M 分别为 f (x)在[a, b]上的最小值和最大值，由积分第一中值定 理，得到 F(x + x) − F(x) + = 在 与 之间 若 在 上连续。 若 在 上可积， ( ) ( ), ( ) [ , ] ( [ , ]), ( ) [ , ] f x x x x f x a b x m M f x a b 显然，不管在哪一种情况下，当x → 0时都有F(x + x) − F(x) → 0， 即 F(x)在[a, b]上连续。 若 f (x)在[a, b]连续，当x → 0时有 → x ，因而 f f x ( ) ( ) → ，于是 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x F x x F x F x f f x x → → + − = = =