§2 HOspita法则 待定型极限和 L'Hospital法则 n= m b axtaix'+++a li Im x) x+6 x++6,x+6 0.n<m oo. n>m 我们将这种类型的极限称为一待定型,简称一型 待定型极限除了型以外,还有型、0.∞型 型、。型 1型、0型等几种。我们先讨论如何求型和型的极限,其余几 种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算
待定型极限和L'Hospital法则 lim x→ a x a x a x a b x b x b x b n n n n m m m m + + + + + + + + − − − − 1 1 1 0 1 1 1 0 = a b n m n m n m n n , , , , , , = 0 我们将这种类型的极限称为 待定型，简称 型。 待定型极限除了 型以外，还有 0 0 型、0型、∞ ∞型、 0型、 1 型、0 0 型等几种。我们先讨论如何求 0 0 型和 型的极限，其余几 种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算。 §2 L’Hospital 法则
定理5.2.1(L' Hospital法则)设函数f(x)和g(x)在(a,a+上可 导(d是某个正常数),且g(x)≠0。若此时有 lim f(x)=lim g(x)=0 X→a X→)a 或 lim g(x) 且 im(x) 存在(可以是有限数或∞),则成立 x→a g'(x) f(x)= lim/(x) X→a g(x
定理5.2.1（L'Hospital法则） 设函数 f (x) 和 g(x) 在 (a, a + d ] 上可 导( d 是某个正常数)，且g(x) 0。若此时有 lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x → + → + = = 0 或 lim ( ) x a g x → + = ， 且 lim ( ) x a ( ) f x → + g x 存在（可以是有限数或∞），则成立 lim ( ) ( ) lim ( ) x a x a ( ) f x g x f x → + → + g x =
证这里仅对im=A为有限数时来证明 x-a+g(x) 先证明limf(x)=limg(x)=0的情况。 x→a x→a 补充定义f(a)=8(a)=0,则f(x)和g(x)在[a+d上连续,在 aa+d上满足 Cauchy中值定理的条件,因而对于任意x∈(a,a+d),存 在ξ∈(a,a+d),满足 f(x)f(x)-f(a)f"(2) g(x) g(x)-g(a) g(5 当x→>a+时显然有ξ→a+。两端令x→a+,即有 lim f(x) lm(5 lm y(r) x-a+ g(x)5>+g(5 x)a+g()
证 这里仅对 lim ( ) x a ( ) f x → + g x = A为有限数时来证明。 先证明 lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x → + → + = = 0 的情况。 补充定义 f (a) = g(a) = 0，则 f (x)和 g(x)在a,a + d上连续，在 a,a + d上满足Cauchy中值定理的条件，因而对于任意 x (a,a + d) ,存 在 (a,a + d) ，满足 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a f g x g x g a g − = = − 。 当 x → a +时显然有 → +a 。两端令 x → a +，即有( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g f g x f x x a a x a = = → + → + → +
下面证明limg(x)=∞时的情况。 x→)a f(x) f(x)-f(xo) f(xo g(x) glx) g(x) g(x)-g(x0)f(x)-f(x),f(x0) g(r 8(x)-g(x0)g(x 1-8(x)()-/(x)+xn) g(x)」g(x)-8(x0)g(x) 于是, 8(x)4=∥1-8(x)(x)-f(x)f(x) 8(x)」g(x)-g(x)g(x) ≤-28(x)f(x)-f(x) A+ 8(x)g(x)-g(x) gx)
下面证明 lim ( ) x a g x → + = 时的情况。 f x g x f x f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 g x f x g x g x f x f x g x g x g x + − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 g x f x g x g x f x f x g x g x + − − = − 。 于是， A g x f x − ( ) ( ) A g x f x g x g x f x f x g x g x + − − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 g x f x Ag x A g x g x f x f x g x g x − − + − − −
因为1m(x)=A,所以对于任意>0,存在p>0(p<d),当 X→a g'( 0<x-a<p时, A<8 g(x) 取x=a+p,由 Cauchy中值定理,对于任意x∈(a,x),存在 5∈(x,x)c(a,a+p)满足 f(x)-f(x0)f(5) g(x)-g(x0)g(5 于是得到 f(r)f\%o/-Al f"(5) <E 8(x)-g(x0) 又因为lmg(x)=∞,所以可以找到正数。<p,当0<x-a<8时,成立 g(x <a g(x) g(x
因为 lim ( ) x a ( ) f x → + g x = A，所以对于任意 0，存在 0 ( d )，当 0 − x a 时， − A g x f x ( ) ( ) 。 取 0 x a = + ，由Cauchy中值定理，对于任意 ( , ) 0 x a x ，存在 ( , ) ( , ) x x0 a a + 满足 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f g x g x g − = − ， 于是得到 − − = − − A g f A g x g x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 。 又因为 lim ( ) x a g x → + = ，所以可以找到正数 ，当0 − x a 时，成立 − − ( ) ( ) ( ) 2, ( ) ( ) 1 0 0 0 g x f x Ag x g x g x