关于幂级数的研究,有两大问题: 1、求和问题S(x)=∑nx 1)收敛域2)收敛域内,S(x)的特性。 2、展开问题 已知某个函数空间S以及(中心)x,使得 f(x)∈s有f(x)=∑1(x-x) 1)S满足什么条件,才有展开式; 2)系数an计算;3)展开成立的范围。 首先要解决x在什么范围内取值、收敛。 2012/6/4
2012/6/4 11 关于幂级数的研究，有两大问题： 首先要解决 x 在什么范围内取值、收敛。 1、求和问题 1）收敛域 0 ( ) n n n s x a x 2）收敛域内，S (x) 的特性。 2、展开问题 已知某个函数空间S 以及（中心）x0 ，使得 有 0 0 ( ) ( )n n n f x a x x 1）S 满足什么条件，才有展开式； 2）系数 an 计算； 3）展开成立的范围。 f x S ( )
2、Abe定理 1)若幂级数∑qx”在x(x≠0)点收敛, =0 则对x满足|x|<|x,∑ax”绝对收敛; n=0 2)若幂级数∑nx在x0(x≠0)点发散, = oo 则对Ⅴx满足|x|>|x,∑q,x"也发散 证:1)由已知∑anx收敛,则必有 lima x=0, n=0 即有界,彐M>0,3anx|≤Mn=0,1,2, n n1 n 0 M 2012/6/4 0 2
2012/6/4 12 2、Abel 定理 1) 若幂级数 0 n n n a x 在 点收敛, 0 0 x x( 0) 则对 x 满足 0 n n n a x 绝对收敛； 证: 1) 由已知 收敛，则必有 即有界， 2) 若幂级数 0 n n n a x 在 点发散, 0 0 x x( 0) 则对 x 满足 0 n n n a x 也发散。 M 0 , n n a x 0 0 n n n x a x x 0 0 n n n n x a x x
当|x|<|x时,∑M收敛, 0 ∑|ax也收敛,→∑ax绝对收敛; n=0 -=0 2)反证假设对x,3x|>|xn, 级数∑anx”收敛,由1 ∥=0如 →∑ 绝对收敛;矛盾 oo 对x满足|x|>|xn,∑ax"也发散 =0 2012/6/4 13
2012/6/4 13 当 x x 0 时, 收敛， 也收敛， 0 n n n a x 绝对收敛； 2) 反证 假设对 x , 级数 收敛， 0 n n n a x 由 1) 绝对收敛； 矛盾， ∴对 x 满足 0 n n n a x 也发散
Abel定理给出了这样的结论: ∑ax的收敛域是以原点为中心的区间,即 0 如果∑qnx"在x点收敛, =0 →x∈(-xl,kx,∑ax“收敛 -=0 如果∑nx"在x0点发散, n=0 →x∈(-0,-1x,(x,+∞)发散。 2012/6/4 4
2012/6/4 14 Abel 定理给出了这样的结论: 0 n n n a x 的收敛域是以原点为中心的区间，即 如果 0 n n n a x 0 在 x 点收敛， 0 0 x x x ( , ) , 0 n n n a x 收敛； 0 0 x x x ( , ), ( , ) 发散。 如果 0 n n n a x 0 在 x 点发散
Abel定理推论 幂级数∑anxn有以下三种收敛情况: 1)仅在x=0收敛 2)在(0,+∞)收敛; 3)存在R>0,当x<R时,qx"绝对收敛; nE 当x>R时,∑nx"发散; -=0 当x=R与x=-R时, ∑unx"可能收敛,可能发散。 -=0 2012/6/4 5
2012/6/4 15 Abel 定理推论 幂级数 0 n n n a x 有以下三种收敛情况： 1）仅在 x = 0 收敛； 3）存在 R > 0，当 x R 时， 当 x R 时, 0 n n n a x 发散; 当 x = R 与 x = - R 时, 0 n n n a x 可能收敛，可能发散。 2）在 ( , ) 收敛； 0 n n n a x 绝对收敛；