称R为收敛半径, (-R,R),[-R,R),(-R,R],I-R,R 为可能的收敛区间。 若在x=0收敛,R=0, 若在∨x点收敛,即(∞,+∞)收敛,R=+∞, 关键是求收敛半径R 如何求收敛半径、收敛区域? 2012/6/4 16
2012/6/4 16 称 R 为 收敛半径， ( , ), R R 为可能的 收敛区间。 若在 x = 0 收敛 , R 0 , 关键是求收敛半径 R . 如何求收敛半径、收敛区域 ? [ , ), R R ( , ], R R [ , ] R R 若在 x 点收敛，即 ( , ) 收敛， R
3、 Cauchy- Hadamard定理 卩若幂级数∑ax”的系数满足 limai=P 如果1)p≠0→R R为收敛半径, 2)p=0→R=+ 3)p=+o→R=0 oO 再令x=土R区间的端点,代入幂级数∑qx n =0 得常数项级数,用常数项级数的方法来判断其 敛散性,求出收敛区间。 20若幂级数∑anx"的系数满足lim n->0a =0 同样可得到上述的结果。 17
17 3、Cauchy - Hadamard 定理 1 0 若幂级数 0 n n n a x 的系数满足 lim n n n a 如果 1) 0 R 为收敛半径, 再令 x = ±R 区间的端点，代入幂级数 0 , n n n a x 得常数项级数, 用常数项级数的方法来判断其 敛散性，求出收敛区间。 1 R 1 lim n n n a a 同样可得到上述的结果。 2) 0 R 3) R 0 2 0 若幂级数 0 n n n a x 的系数满足