4、函数项级数的余项 oo r(x)=S(x)-S(x)=∑(x) k=n+1 limr, ()=0 n→0 结论在收敛域上有 lims,(x)=s(r) limr (x)=0 n→)0 2012/6/4
2012/6/4 6 4、函数项级数的余项 1 ( ) k k n u x 结论 在收敛域上有 lim ( ) ( ) n n S x S x
如等比级数 ∑ xCn=1+x+y2+…+x"+ 0 它的收敛域是(-1,1), 当x∈(-1,1)时,有和函数∑x= 它的发散域是(-∞,-1U[1,+∞) 如何求函数项级数的收敛域呢? 2012/6/4
2012/6/4 7 它的收敛域是 ( , 1 ] [1 . ， ） 如等比级数 它的发散域是 有和函数 如何求函数项级数的收敛域呢？ 当 时
级数藴涵了分解的特性。 由一个新鲜的观点和一个简单的类比开辟了一个 新的研究方向。这也是高层次的创造性思维。 高等数学中的两类基函数: 整幂函数 角函数 un(x)=x”n=0,1, sinn n=1.2 cos nx n=0. 2012/6/4
2012/6/4 8 级数蕴涵了分解的特性。 由一个新鲜的观点和一个简单的类比开辟了一个 新的研究方向。这也是高层次的创造性思维。 高等数学中的两类基函数： 整幂函数 三角函数 ( ) 0,1, n u x x n n sin 1, 2, ( ) cos 0,1, n nx n u x nx n
二、幂级数 幂级数系数 定义形如 ∑ n 任意给定的实数。 =a0+a1(x-x0)+a2(x-x)2+…+an(x-x)”+ 的函数项级数称为x-x0的幂级数。 作代换t=x-x0(x0=0)即转换成 x的幂级数: ∑unx"=an+a1x+a2x2+…+anx"+ 任意一个幂级数在x=0处总是收敛的。 2012/6/4 9
2012/6/4 9 二、幂级数 0 0 ( )n n n a x x 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( )n n a a x x a x x a x x 形如 的函数项级数称为 任意给定的实数。 0 0 作代换 t x x x ( 0) 的幂级数。 0 x x 即转换成 x 的幂级数： 0 n n n a x 2 0 1 2 n n a a x a x a x 任意一个幂级数在 x = 0 处总是收敛的。 1、定义 幂级数系数
oo 下面着重讨论x的幂级数∑anx =0 对每一个实数x,幂级数∑qnx”即为常数项级数。 H=0 1)如果∑qx收敛,则称x为∑qnx”的收敛点, n=0 0 所有收敛点的全体称为∑qx"的收敛区域 n=0 oo 2)如采∑anx发散,则称x为∑anx"的发散点, 幂级数的和∑anx=S(x) n=0 在收敛域上是x的函数。 2012/6/4 10
2012/6/4 10 下面着重讨论 x 的幂级数 0 n n n a x 对每一个实数 ,幂级数 0 x 0 n n n a x 即为常数项级数。 1) 如果 0 0 n n n a x 收敛, 则称 x0 为 的收敛点， 0 n n n a x 所有收敛点的全体称为 的收敛区域。 0 n n n a x 2) 如果 0 0 n n n a x 发散, 则称 为 的发散点， 0 x 0 n n n a x 幂级数的和 0 ( ) n n n a x S x 在收敛域上是 x 的函数