§5方向导数、梯度 方向导数 多元函数的偏导数反映了函数值沿坐标轴方向的变化率,而许多实际问题 中常常还需要掌握函数在某点处沿某一指定方向的变化率。例如,为了预测某 地的风向和风力,必须掌握该地气压沿各个方向的变化率。这就引出了方向导 数的概念 定义75.1设∫是定义于R中某区域D上的函数,点P∈D,l为一给定 的非零向量,P为一动点,向量PP与l的方向始终一致。如果极限 f(P)-f(B0) 存在,则称此极限为函数∫在处沿l方向的方向导数,记作
§5 方向导数、梯度 方向导数 多元函数的偏导数反映了函数值沿坐标轴方向的变化率，而许多实际问题 中常常还需要掌握函数在某点处沿某一指定方向的变化率。例如，为了预测某 地的风向和风力，必须掌握该地气压沿各个方向的变化率。这就引出了方向导 数的概念。 定义 7.5.1 设 f 是定义于 n R 中某区域 D 上的函数，点 P0 D ，l 为一给定 的非零向量， P 为一动点，向量 P0P 与 l 的方向始终一致。如果极限 || || ( ) ( ) lim 0 0 || 0 || 0 P P f P f P P P 存在，则称此极限为函数 f 在P0 处沿l 方向的方向导数，记作 l f
对于可微函数而言,不仅有关于各个自变量的偏导数,而且有沿任何方向 的方向导数,这些方向导数还可以用偏导数来表示。下面我们就来证明这一结 论,并导出计算公式。 为了便于刻画方向,先介绍方向余弦的概念。设l是一个n维非零向量, 1=,即1是与同向的单位向量。取0≤a1≤,使D=(o5a1,cosa,)显然, cosa1+…+ cos a=l 称 os a1, cosa, 为向量l的方向余弦
对于可微函数而言，不仅有关于各个自变量的偏导数，而且有沿任何方向 的方向导数，这些方向导数还可以用偏导数来表示。下面我们就来证明这一结 论，并导出计算公式。 为了便于刻画方向，先介绍方向余弦的概念。设 l 是一个 n 维非零向量， || || 0 l l l ，即 0 l 是与 l 同向的单位向量。取 0 i ，使 (cos , ,cos ) 0 1 n l 。显然， cos cos 1 2 1 2 n 。称 n cos , cos , , cos 1 2 为向量 l 的方向余弦
例如,对R中向量a=3-4)+5k,有m√32+(-4)2+52=52。取单位向量 k la‖5√2 即得a的方向余弦为 coSa= 5v2·cos=-、4 √2 c0s=√2 定理7.51若函数∫在点P处可微,向量l的方向余弦为 cosa1,cosa2… cos a,则函数/在点P处沿l方向的方向导数存在,且 |_ af cosa, t cosa,+… cosa o
例如，对 3 R 中向量 a 3i 4 j 5k ，有 || || 3 ( 4) 5 5 2 2 2 2 a 。取单位向量 i j k a a a 2 1 5 2 4 5 2 3 || || 0 ， 即得 a 的方向余弦为 5 2 3 cos ， 5 2 4 cos ， 2 1 cos 。 定 理 7.5.1 若函数 f 在 点 P0 处 可 微 ， 向 量 l 的 方 向 余 弦 为 n cos ,cos , ,cos 1 2 ，则函数 f 在点 P0 处沿 l 方向的方向导数存在，且 n P P P n P x f x f x f l f cos cos cos 0 0 0 0 2 2 1 1
证因为/在P处可微,向量PP=(4x…,Ax)与l同向, f(P)-f() O( PP D 这样 f(P)-f(Po) O(ll PP ID 10150 POP oxPP‖ arpP‖‖PP cos a,+ cos an 因此存在,且 cos a, t cOsa,+…+ cos a 证毕
证 因为 f 在 P0 处可微，向量 ( , , ) 0 1 n P P x x 与 l 同向， ( ) ( ) (|| ||) 1 0 1 0 0 0 x o P P x f x x f f P f P n P n P 。 这样 || || (|| ||) || || || || lim || || ( ) ( ) lim 0 0 0 0 1 1 | | | | 0 0 0 | | | | 0 0 0 0 0 P P o P P P P x x f P P x x f P P f P f P n P n P P P P P n P n P x f x f cos cos 0 0 1 1 因此 P0 l f 存在，且 n P P P n P x f x f x f l f cos cos cos 0 0 0 0 2 2 1 1 。 证毕
例7.5.1设函数f(x,y,)=xy2+z,向量1=-4j+3k。求函数/在点P(1,0,1) 处沿l方向的方向导数。 解显然,∫是处处可微的,它在P处的三个偏导数为 0 又向量的三个方向余弦分别为 cosa=0, cos B=--,cosy==o 所以在P处沿方向的方向导数为 3 cos -+ B y (1,0,1) (1,0,1 1,0,1) 下例说明,一个函数即使在某一点处连续,可偏导,且沿所有方向的方向导 数都存在,也不一定在该点可微
例 7.5.1 设函数 f x y z x y z 3 2 ( , , ) ，向量 l 4 j 3k 。求函数 f 在点 (1, 0, 1) P0 处沿 l 方向的方向导数。 解 显然， f 是处处可微的，它在 P0 处的三个偏导数为 3 0 (1,0,1) 2 2 (1,0,1) x y x f ， 2 0 (1,0,1) 3 (1,0,1) x y y f ， 1 (1,0,1) z f 。 又向量 l 的三个方向余弦分别为 cos 0， 5 4 cos ， 5 3 cos 。 所以在 P0 处沿 l 方向的方向导数为 5 3 cos cos cos (1,0,1) (1,0,1) (1,0,1) (1,0,1) z f y f x f l f 。 下例说明，一个函数即使在某一点处连续，可偏导，且沿所有方向的方向导 数都存在，也不一定在该点可微