§10.3格林公式 XD
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§10.3格林公式 回忆在一元函数微积分中最重要的么式 牛顿-莱布尼兹公式(微积分基本公式) ∫F(x)d=[F(x) 该公玉的重要意义: 它建立了微分与积分的关系,为 定积分的计算提供了一种简单而有 D L 效的方法 2该公式揭示了函数在区间内部与 边果之间的内在联系
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 1.它建立了微分与积分的关系，为 定积分的计算提供了一种简单而有 效的方法 §10.3 格林公式 2.该公式揭示了函数在区间内部与 边界之间的内在联系 牛顿-莱布尼兹公式（微积分基本公式） b a b a F ( x )dx F ( x ) 该公式 的重要意义 ： 回忆在一元函数微积分中 最重要的公式 ： y O x D L O a b x
、公式的建立 牛顿-莱布尼兹公式 ∫F(x)dx=[F(x)] 牛顿-莱布尼兹公式在平面区域的推广 ∫j(???)d=∮Px)d+(x 其中L是D的正向边界 正向边界定义 D 人沿边界走,区域在左侧
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD 牛顿-莱布尼兹公式 b a b a F ( x )dx F ( x ) 一、公式的建立 D dxdy 其中： L是 D的正向边界 牛顿-莱布尼兹公式 在平面区域的推广 L y O x D L P(x, y)dx Q(x, y)dy 正向边界定义 人沿边界走，区域在左侧。 ? O a b x ? ?
在矩形区域上探索格林公式的形式 00 oP Ox-a,)rdy=手P(x,y)dx+(x,y)y(格林公式) P(x,y)dx= P(x, d)dx+ P(x, c)dx 「P(x,d)-P(x,c)ldx d aP J dy ldx aP ②D④ L ra@ dx dy 两式相加即知被积函数的形式
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D c d L a b 探索格林公式的形式 D dxdy L P(x, y)dx Q(x, y)dy L P(x, y)dx P x d x a b ( , )d b a [P(x, d) P(x, c)]dx b a d c y x y P d d D x y y P d d L Q(x, y)dy D x y x Q 同理 d d y P x Q 在 矩形区域 上探索格林公式的形式 P x c x b a ( , )d 两式相加即知被积函数的形式 ① ② ③ ④ （格林公式）
格林完理设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线,L是D的 正向边界,P(x,y,(x,以QQP ,在D上连续,则 ag_ aDdy P(x,y)dx+Q(x,y)dy(格林公式) ax a 证(1)若D为凸形区域,则 x=x,(y) B ag dx dy= dy x2(y) oe dx a Jx1(y)ax D le(x,(),)-Q(x,(), y)ldy L ax()+x(),y x B(,ydy 同理(=P(x),两式相加即得(格林公式)
• 单击此处编辑母版文本样式 – 第二级 • 第三级 – 第四级 » 第五级 XJD y O x D L 格林定理 d c x y x y x x Q dy d ( ) ( ) 2 1 D x y x Q d d L P(x, y)dx D x y y P 同理 d d y P x Q P x y Q x y ( , ), ( , ), , 设有界闭区域D的边界是分段光滑曲线，L是D的 正向边界， 在D上连续，则 （格林公式） d c Q[x ( y), y]dy 2 L Q(x, y)dy c d Q[x ( y), y]dy 1 证 (1) 若 D为凸形区域 c d A B ( ) 2 x x y ( ) 1 x x y ，两式相加即得（格林公式） D x y y P x Q d d L P(x, y)dx Q(x, y)dy ,则 d c [Q(x ( y), y) Q(x ( y), y)]dy 2 1