第5章 §5.3定积分的积分法 不定积分「换元积分法 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法
§5.3 定积分的积分法 第5章 不定积分 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法
1.定积分的换元法 定理1设函数(x)在区间[a,b连续,x=(0)满足: (1)在区间[a,月或a上单调、可导,且p(t连续; (2)a=0(a),b=0(B)t∈[a,或B,a时,m(t)∈{a,b 则 ∫f(x)dx=/((o(od 证所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存 在且它们的原函数也存在设F()是()的一个原函 数则()就是[o(1y/()的原函数,因此有 f(x)dx=F(b)-F(a)=Flo(B)1-FIo(a)l B f[()]q(t)d
1. 定积分的换元法 定理1 设函数f(x) [a, b] 连续， 满足: ( )d [ ] d b a f x x f t = ( )t (t) 证 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存 在, 且它们的原函数也存在 . 则 就是 的原函数 , 因此有 b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] f [ ] dt = (t) (t) F[(t)] f [(t) ](t) 则 在区间 (2) ( ), ( ), [ , ] [ , ] a b t = = 或 [ , ] [ , ] α 或 上 x t = ( ) 设F(x)是f(x)的一个原函 数, 则 时， ( ) [ , ], t a b (1) 在区间 单调、可导, 且 ( )t 连续;
Cf(ydx=fo(lo(dt 注 1)必需注意换元必换限,且换元后的上限和下限分别 对应原积分上限和下限 2)原函数中的变量不必代回
注: 1) 必需注意换元必换限 ,且换元后的上限和下限分别 2) 原函数中的变量不必代回 . f x x f t b a ( )d [ ] d = (t) (t) 对应原积分上限和下限
例1计算a2-x2dx(a>0 0 解令x= asin t,则dx= a costd t,且 当x=0时,t=0;x=a时 2 原式=28c083d71y=a 21 a 二 (+cos 2t)dt 2 (t+sin 2t) 2 2 0 元 4
例1 计算 d ( 0). 0 2 2 − a x x a a 解 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a S 且 2 4 a =
例2计算∫ 4x+2 d 0√/2x+1 解令t=√2x+1,则x= 2-1 dx=tdt,且 2 当x=0时,t=1;x=4时,t=3 3 原式 2-I+tat 2 +3)dt 2 r3+3t) 3 22 23
例2 计算 d . 2 1 4 2 0 x x x + + 解 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2 + − (t 3)dt 2 1 3 1 2 = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 且 22 3 =