第3章 s3.5函数的极值与最大值 最小值 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§3.5 函数的极值与最大值 最小值 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第3章
定义设函数f(x)在区间a,b内有定义,x是 (a,b内的一个点 如果存在着点x的一个邻域对于这邻域内的 任何点x除了点x外,f(x)<f(x)均成立就称 f(x0)是函数f(x)的一个极大值 如果存在着点x的一个邻域对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)>f(x0)均成立就称 f(x0)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点
函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 注意:1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数,极值可能出现在驻点或导数 不存在的点 3)函数的最值是函数的全局性质 x1,x4为极大点 x2,xs为极小点 x3不是极值点 oax x2 x3 x4 x5 b
注意: 3 x 1 x 4 x2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 1) 函数的极值是函数的局部性质. 3) 函数的最值是函数的全局性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点. 函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点
定理1(取得极值的充分条件) 设函数f(x)在x0的某邻域内连续,且在空心邻域 内有导数,当x由小到大通过x0时 (1)f(x)“左正右负”,则f(x)在x取极大值 (2)f(x)“左负右正”,则f(x)在x0取极小值; (证明略) 例如,容易验证=0是y=x2,x∈(-∞,+∞)的极小 值点 而x=0不是y=x3,x∈(-∞,+∞)的极值点
定理 1 (取得极值的充分条件) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 (证明略) 例如, 2 y x x = − + , ( , ) 3 而 y x x = − + , ( , ) 容易验证x=0是 的极小 值点. x=0不是 的极值点
例3求函数f(x)=(x-1)x3的极值 解1)求导数f(x)=x3+(x-1)x5+3 2)求极值可疑点 3 令f()=0,得x=2:令f(x)=∞,得x2=0 5 3)列表判别 x|(∞0)003)3(3,+ ● f(x)+ f(x) 0 0.33 x=0是极大值点,极大值为f(0)=0 x=2是极小值点,极小值为f(3)=-0.33
例3 求函数 3 2 f (x) = (x −1)x 的极值 . 解 1) 求导数 2 3 f x x ( ) = + 1 3 2 ( 1) 3 x x − − 3 2 5 5 3 x x − = 2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 1 2 ; 5 x = 令 f (x) = , 得 0 x2 = 3) 列表判别 x f (x) f (x) 0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 + x = 0 是极大值点， 极大值为 f (0) = 0 是极小值点， 极小值为 5 2 x = ( ) 0.33 5 2 f = −