第4章 §41不定积分 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§4.1 不定积分 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第4章
不定积分的概念与性质 1.不定积分的定义 引例一个质量为m的质点,在变力F= A sint的作 用下沿直线运动,试求质点的运动速度v(t) 根据牛顿第二定律,加速度a(t) FA sin t e m m 因此问题转化为:已知v()=sint,求v(t)=? 定义1若在区间/上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)为(x) 在区间I上的一个原函数 A A 如引例中,sint的原函数有-cost,--c0st+3,…
一、不定积分的概念与性质 引例 一个质量为 m 的质点, 用下沿直线运动 , v t( ). 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度 m F a(t) = t m A = sin 定义 1 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx, 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A 1. 不定积分的定义 F A t = sin 的作
由定义,若F(x)是f(x)的一个原函数, 则 (F(x)+C)=F'(x)=f(x) F(x)+C是f(x)的原函数 又设G(x)是fx)的一个原函数, 即 G(x)=f() 又知 F(x=f(x) [G(x)-F(x)=G(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 G(x)=F(x)+C。(C为某个常数) 即八x)的任意两个原函数之间只相差某个常数 综上所述,若F(x)是八x)在区间I上的一个原函数, 则Fx)+C是x)在区间上的原函数的一般表达式
由定义, 若F(x)是f(x)的一个原函数， + F x C f x ( ) ( ) 是 ( ( ) ) F x C+ = F x ( ) = f x( ) G x f x ( ) ( ) = 又知 F x f x ( ) ( ) = − [ ( ) ( )] G x F x = − G x F x ( ) ( ) =−= f x f x ( ) ( ) 0 故 0 G x F x C ( ) ( ) = + 即f(x)的任意两个原函数之间只相差某个常数. 即 则 又设G(x)是f(x)的一个原函数， 则F(x) +C是f(x)在区间I 上的原函数的一般表达式. 综上所述, 若F(x)是f(x)在区间I 上的一个原函数, (C0为某个常数) 的原函数
问题: 1.在什么条件下,一个函数的原函数存在? 2.若原函数存在,如何求? 定理1若函数(x)在区间上连续,则fx)在区间上 存在原函数 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 如何求 ? 定理1 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 若函数f(x)在区间I上连续, 则f(x)在区间I上
定义2f(x)在区间I上的原函数的一般表达式称为 f(x)在/上的不定积分记作(x)dx,其中 ∫一积分号:f(x)一被积函数 x一积分变量;f(x)dx-被积表达式 即若F"(x)=f(x),则 「f(xx=F(x)+C(C为任意常数) 例如,edx=ex+C C称为积分常数 x dx=xt sin xdx=-cosx+c
定义 2 f (x) 在区间 I 上的原函数的一般表达式称为 f (x)在I 上的不定积分, f (x)dx , 其中 — 积分号; f (x) — 被积函数; x — 积分变量; f (x)dx — 被积表达式. 即若 F(x) = f (x) , 则 f x x = F x +C ( )d ( ) ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, = e x x d e C x + = x dx 2 x +C 3 3 1 = sin xdx − cos x +C 记作