第三章中值定理与导数 的应用 高等数学(XJD)
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中值定理与导数的应用的结构 洛必达法则 0 0 型 Cauchy 0 令y=f 中值定理 型 型 0 取对数 0 型 F(x)=x 型 g 州| Lagrange/a)= fb rolle导数的应用 中值定理 定理单调性,极值与最值, n=0 凹凸性,拐点,函教 Taylor 常用的图形的描绘; 中值定理 泰勒公式曲率;求根方法 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 中值定理与导数的应用的结构 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 1 − 2 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = 1 2 2 1 1 2 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用
第三章中值定理与导数的应用 中值定理 2.常用麦克劳林公式 3.洛必达法则 王4函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5.函数图形性质的讨论 6.判定极值的充分条件 7.最值问题 8.典型例题 高等数学,( XAUAT) ▲^
高等数学（XAUAT） 第三章 中值定理与导数的应用 1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
1.中值定理 罗尔中值定理设(x)在闭区间[ab]上连续,在开区间(a,b)内 可导且f(a)=f(b),那末3∈(a,b),使∫()=0 拉氏中值定理设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内 可导,那末35∈(ab),使 f(a)-f(b)=∫()(拉氏中值公式 柯西中值定理设f(x),g(x)在闭区间[a,b上连续,在开区间 (a,b)内可导且g"(x)≠:0,那末彐5∈(u,b),使 f(a)-∫(b)f(5) (柯西中值公式) g(a)-g(b)g(2) 泰勒中值定理设八()在含x的某开区间(b内具有(m+1)阶 导数,则当x∈(ab)时,在x与x之间存在5,使 (n) (n+1) f(x)=2 0 C-x n 0 -d (n+1) 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 1. 中值定理 泰勒中值定理 设 f(x)在含 x0 的某开区间(a,b)内具有(n +1)阶 导数, 则当 x (a,b) 时，在 x 与 0 x 之间存在 ,使 （柯西中值公式） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' g f g a g b f a f b = − − f (a) − f (b) = f () （拉氏中值公式） 柯西中值定理 设 f(x), g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间 (a,b)内可导且 g (x)0, 那末 (a,b) ,使 罗尔中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内 可导且 f(a)= f(b), 那末 (a,b) ,使 f ( )=0 1 0 ( 1) 0 0 0 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) + + = − + = − + n n n k n n x x n f x x n f x f x 拉氏中值定理 设 f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内 可导, 那末 (a,b) ,使
2.常用麦克劳林公式 e=∑ +0(x k=0 ! 2k+1 SII= ∑ +0(y2m+2 (2k+1)! cos= ∑(-1)4+4 +o(x 2n+1 (2k)! k +x)=∑(-1 +ox =∑ +0(x") 1 x) ∑|x2+x") (a-1)…(a-n+1) k K! 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） ( ) (2 1)! sin ( 1) 2 2 0 2 1 + = + + + = − n n k k k o x k x x ( ) (2 )! cos ( 1) 2 1 0 2 + = = − + n n k k k o x k x x ln(1 ) ( 1) ( ) 1 1 n n k k k o x k x + x = − + = − ! ( 1) ( 1) k n k − − + = (1 ) ( ) 0 n n k k x o x k x + + = = ( ) 1 1 0 n n k k x o x x = + − = ( ) ! 0 n n k k x o x k x e = + = 2. 常用麦克劳林公式