第3章 §3.4函数的单调性与曲线的 凹凸性 燕列雅权豫西王兰芳李琪
第3章 §3.4 函数的单调性与曲线的 凹凸性 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
三、函数的单调性与凹凸性 1.函数单调性的判定法 定理1设函数f(x)在开区间I内可导,若f(x)>0 (f(x)<0),则f(x)在I内单调递增(递减) 证无妨设f(x)>0,x∈,任取x1,x2∈1(x1<x2) 由拉格朗日中值定理得 f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1)>0 5∈(x1,x2)cI 故∫(x)<∫(x2).这说明f(x)在I内单调递增 证毕
1. 函数单调性的判定法 定理 1 设函数 f (x) 若 f (x) 0 ( f (x) 0), 则 f (x) 在 I 内单调递增(递减) . 证 无妨设 f (x) 0, x I, 任取 , ( ) 1 2 1 2 x x I x x 由拉格朗日中值定理得 ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 f x − f x = f x − x ( , ) 1 2 x x I 0 故 ( ) ( ). 1 2 f x f x 这说明 f (x) 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕 三、函数的单调性与凹凸性
说明: 1)驻点是函数单调区间可能的分界点1y=x2 例如,y=x,x∈(-∞0,+0) y=2x y x=0 0 x=0是函数单调区间的分界点 x 而y=x3,x∈(-∞,+∞) 3x2y1x=0=0 x=0不是函数单调区间的分界点 2)导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点 例如,y=3x2,x∈(∞,+∞) y=vx 1′2 33/x Vx=
y o x 说明: 2) 导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点. 例如, , ( , ) 3 2 y = x x − + 3 3 2 x y = y x= 0 = 3 2 y = x 1) 驻点是函数单调区间可能的分界点. 例如, 2 y x x = − + , ( , ) y x = 2 , 0 y x=0 = y o x 3 y = x , ( , ) 3 y = x x − + 2 y = 3x 0 y x=0 = 2 y = x y o x x=0是函数单调区间的分界点. 而 x=0不是函数单调区间的分界点
例1确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解f(x)=6x2-18x+12=6(x-1(x-2) 令∫(x)=0,得x=1,x=2 x(-∞,)1(1,2)2(2,+∞) f(x)+0-0+ f(x) 2 故f(x)的单调增区间为(-∞,12,+∞)27 f(x)的单调减区间为[1,2] 12x
例1 确定函数 ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 的单调区间. 解 ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 f (x) 的单调增区间为 ( , 1], − [2, ); + f (x) 的单调减区间为 [1 , 2]. 1 2 o x y 1 2
2.函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 注意:1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数,极值可能出现在驻点或导数 不存在的点 3)函数的最值是函数的全局性质 x1,x4为极大点 x2,xs为极小点 x3不是极值点 oax x2 x3 x4 x5 b
注意: 3 x 1 x 4 x2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 1) 函数的极值是函数的局部性质. 3) 函数的最值是函数的全局性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点. 2. 函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点