复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第八章 多元函数积分学 8.2 二重积分的计算

20 型区域(先对x积分后对y积分) y dyed y=x 2x 3 J=2 D 27 )dy= 1 33 64 说明1)积分次序选择得好,能化繁为简, 化难为易。 2)积分区域具有可加性

6 D y x  y  2 xy  1 (1,1) , 2) 2 1 ( (2,2) 2 2 D x d y   2 2 1 2 1 y y x dy dx y    3 2 2 1 3 1 y y x dy y             2 5 1 1 ( ) 3 3 y dy y    27 64  2 0 y — 型区域 （先对 x 积分后对 y 积分） 说明 1) 积分次序选择得好，能化繁为简， 化难为易。 2) 积分区域具有可加性

3、如果积分区域D:矩形域 er,D)asxsb, cssd 盯(x,y)dg=Jf(,y dy f(x,y)dx 表明:此时二重积分与积分的先后次序无关。 若∫(x,y)=f(x)(y)时, ∫(x,y)do=J,f(x)丁(y)d

7 ( , ) , x y a x b c y d      ( , ) D f x y d  ( , ) b d a c  dx f x y dy   ( , ) d b c a  dy f x y dx  1 2 ( ) ( ) b d a c  f x dx f y dy   3、如果积分区域 D： 矩形域 表明：此时二重积分与积分的先后次序无关。 1 2 若 f x y f x f y ( , ) ( ) ( )  时， ( , ) D f x y d 

二重积分计算步骤: 1)画草图 2)确定积分限 3)确定一种积分次序 4)计算

8 二重积分计算步骤: 1) 画草图 2) 确定积分限 3) 确定一种积分次序 4) 计算

例2、计算[p-x2,D={-1≤x≤1,0≤y≤县} X 1 例3、改变∫d「f(x,y)+」: (3-x) f(x,y)dy的 次序。 y=x (3-x) D 2012/6/4 0.5

9 例2、计算 2 , { 1 1, 0 1} . D y x d D x y          D1 D2 D3 2 y x  2012/6/4 例3、改变 的 次序。 2 1 1 3 (3 ) 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy       9 2 y x  1 (3 ) 2 y x   (1,1) D1 D2

e c2 Inx 2 nx 例4、计算积分Ⅰ= 0 小J +」d Iny e 解: mxdc无法用初等函数表示, y=e ∴积分时须考虑积分次序, :0≤y≤e1≤x≤2 elyse In y≤x≤2 er Inx dx 小y D 0 2 Inx In xdx =xInx-x.dx=21n 2-1

例4、计算积分 2 2 2 0 1 ln ln ln . e e x x e y x x I dy dx dy dx e e       解： ln x x dx e  无法用初等函数表示， ∴ 积分时须考虑积分次序， 1 D y e x : 0 1 2     2 2 D e y e y x : ln 2     0 x y 2 e D1 1 2 e D2 x y e  2 1 I dx   0 ln x e x x dy e  2 1 0 ln x e x x y dx e    2 1  ln xdx  2 1  x x ln 2 1 1 x dx x      2ln2 1 10