例4: 设 Z。 = {[0],[1],[2],[3],[4],[5]],S, ={[0],[2],[4]] S, = ([O],[3]}。可以验证，S, ≤Z6，S, ≤ Z。例5: 设 Q(V2)= (α+b/2 [a,be Q)则容易验证：Z≤Q(V2),Q≤Q(~2)
例 4：设 ， ， 。 {[ 0], [ 1], [ 2], [ 3], [ 4], [ 5]} Z 6 = {[ 0], [ 2], [ 4]} S 1 = {[ 0], [ 3]} S 2 = 可以验证， , S1 Z6 . S2 Z 6 例5：设 Q ( 2 ) = { a + b 2 | a,b Q } 。 则容易验证： Z Q ( 2), Q Q ( 2 )
例6：设R=(a,b)la,bEz)。现定义R的运算(a,b)+(az,b,) =(a +az,b, +b)(a,b )(az, b,) =(a,a2,b,b,)(1）容易验证，R=(a,b)la,be Z)关于所定义的运算构成一个环。令 S =((a,0) laE Z) 。（2）容易验证S≤R
例6：设 R = {(a,b)| a,b Z} 。现定义 R 的运算： ( , ) ( , ) ( , ) a1 b1 + a2 b2 = a1 + a2 b1 + b2 ( , )( , ) ( , ) a1 b1 a2 b2 = a1 a2 b1 b2 （1）容易验证， 关于所定义的运算 构成一个环。 R = {(a,b)| a,b Z} （2）容易验证 令 S = {(a,0)| a Z} 。 S R
三、环的同态及其若干性质定义：设 R 和 R 是两个环，则称 R 和 R 同态（同构），若满足（1）存在满射（双射）Φ:R→R；（2）Φ保持运算（保持加法和乘法运算）d(x + y) =d(x)+d(y)(Vx, ye R);d(xy) = d(x)d(y)(Vx, y E R)此时记 R 和 R 的同态（同构）为:R～R(R=R)
定义：设 和 是两个环，则称 和 同态 （同构），若满足 R R R R (x + y) = (x) +( y)(x, y R); (xy) = (x)( y)(x, y R). 三、环的同态及其若干性质 （2） 保持运算（保持加法和乘法运算） 此时记 和 的同态（同构）为： ) ~ R R R ~ R(R = R （1） 存在满射（双射） : R → R ；
R=Z.,作: R→R,a>[a] 。例7： 设R=Z,容易验证Φ 是同态。例8：设R={(a,b)Ia,bEZ)，R=Z。现定义R的运算：(a,b,)+(az,b,)=(a, +az,b, +b,)(a,b)(a2,b) =(a,a2,b,b,)(1）可以验证，R=(a,b)la,be Z) 关于所定义的运算构成一个环。（2）容易验证Φ是同态
例7：设 R = Z ， R = Z4 ,作 : R → R,a [a] 。 容易验证 是同态。 例8：设 R = {(a,b)| a,b Z} ， R = Z 。现定义 R 的运算： ( , ) ( , ) ( , ) a1 b1 + a2 b2 = a1 + a2 b1 + b2 ( , )( , ) ( , ) a1 b1 a2 b2 = a1 a2 b1 b2 （1）可以验证， 关于所定义的运算 构成一个环。 R = {(a,b)| a,b Z} （2）容易验证 是同态