第十一章第四节函数展开成幂级数两类问题：在收敛域内求和和函数 S(x)幂级数anx'展开n0本节内容：一、泰勒（Taylor）级数函数展开成幂级数HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束
第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
一、泰勒（Taylor）级数若函数 f(x)在xo的某邻域内具有 n + 1 阶导数,则在该邻域内有 :fxof(x) f(xo) Lf (xo)(x xo) L(x xo)2!CO(xxo)Rn(x)n!此式称为f(x)的n阶泰勒公式,其中(n) ())nR,(x) (x xo在 x与 xo之间(n l)!称为拉格朗日余项HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 ( 在 x 与 x0 之间 ) 称为拉格朗日余项 . 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数,则称lxof(xo) E f (xo)(x xo) (x xo2!(xxo)n!为f(x)的泰勒级数当xo=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数待解决的问题1)对此级数，它的收敛域是什么？2)在收敛域上，和函数是否为f(x)？HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设函数f(x)在点 x的某一邻域定理1.(xo)内具有各阶导数，则f(x）在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足：lim R，(x)Onxo)n， x(xo)证明：f(x)口xn!nkn(xoSn(x)今(xxok!kof(x) Sn(x) Rn(x)(x)Sn(x)[O， x(xo)lim R,(x) limnnHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.未若f(x)能展成x的幂级数，则这种展开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同证：设f(x)所展成的幂级数为f(x) ao aixa2x~ anxn ， x(R,R)则 f(O)f(x)a2a2xnanxn;a f {)f /) 2!a2 n(n 1)anxn 2；α)1111f(n)(x) n!an ;l(n)1 (0)1111显然结论成立HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束