第二节常数项级数的审敛法、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛HIGH EDUCATION PRESS下页返回机动录上贝结束
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、正项级数及其审敛法浦un为正项级数若un O,则称n部分和序列S定理1.正项级数二un收敛二n(n□l,2,□)有界若un收敛，则Sn收敛，故有界证：“>"n2CCS,［单调递增口O.部分和数列un1Sn［有界，故Sn［收敛，从而un也收敛又已知nHIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
一、正项级数及其审敛法 若 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束
福设定理2（比较审敛法）Vn是两个正项级数un?nn且存在Nz2,对一切nN,有unkvn（常数k>0),则有(1)若强级数v,收敛，则弱级数un也收敛;nln口口(2)若弱级数un发散，则强级数vn也发散nnl证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨设对一切nz?,都有unkvn，令S和口，分别表示弱级数和强级数的部分和，则有HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束
S,kn(1)若强级数vn收敛，则有lim二nn因此对一切nZ，有 Snk由定理1可知,弱级数un也收敛n■un发散，则有lim Sn(2)若弱级数n口n因此lim n ，这说明强级数Vn也发散n口nHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一一吕一例1.讨论p级数 1 口-(常数p>0)hp的敛散性解：1）若pl,因为对一切nzn口口二而调和级数发散，由比较审敛法可知p级数nnpnn发散HIGH EDUCATION PRESS机动目录下页返回上贝结束
例1. 讨论 p 级数 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束