第三节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算HIGH EDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束
第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
函数项级数的概念一、设un(x)（n □l,2,）为定义在区间I上的函数,称un(x)ui(x)u2(x)un(x)n为定义在区间I上的函数项级数口对xoI，若常数项级数「un(xo)收敛，称xo为其收n敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域福un(xo）发散，称xo为其发散点,若常数项级数，所有n发散点的全体称为其发散域HIGHEDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 S(x)，称它为级数的和函数，并写成福S(x) un(x)n若用 Sn(x)表示函数项级数前 n项的和即nSn(x) uk(x)kl令余项rn(x) S(x) Sn (x)则在收敛域上有lim rn (x) 0lim Sn(x) S(x)nnoHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1x2xnxn例如，等比级数nO它的收敛域是（l,1）,当x(l,1)时，有和函数咖10xno它的发散域是（，1］及［1，），或写作x□1IxOn级数又如，(x0），当x1时收敛，2nno但当○x|1时,lim un(x),级数发散;n口口x1所以级数的收敛域仅为HIGHEDUCATION PRESS目录下页返回机动上贝结束
例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
幂级数及其收敛性二、口形如an(x xo)" ao a(x xo) a2(x xo)? noan(xxo)" 的函数项级数称为幂级数其中数列an（no,l,)称为幂级数的系数下面着重讨论 xoO的情形,即福ntaoaixazx"anx"口福no即是此种情形例如，幂级数noHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束
二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 机动 目录 上页 下页 返回 结束