第6章代数系统 第6章代数系统 6.1代数系统的基本概念 6.2二元运算的性质 6.3子代数和积代数 返回总目录
第6章 代数系统 第6章 代数系统 6.1 代数系统的基本概念 6.2 二元运算的性质 6.3 子代数和积代数 返回总目录
第6章代数系统 第6章代数系统 6.1代数系统的基本概念 6.1.1运算 1.运算的定义 定义6.1.1设A是非空集合，从笛卡尔积A×A×…×A到 A的映射f称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。 在定义6.1.1中，当n=1时，称为集合A上的一元运算； 当n=2时，称为集合A上的二元运算。 在讨论抽象运算时，"运算”常记为"*”、”。”等。 设*是二元运算，如果a与b运算得到c,记作a*b=c;若*是 元运算，a的运算结果记作*a或*(a)
第6章 代数系统 6.1代数系统的基本概念 6.1.1运算 1.运算的定义 定义6.1.1 设A是非空集合，从笛卡尔积A×A×…×A到 A的映射f称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。 在定义6.1.1中，当n=1时，f称为集合A上的一元运算； 当n=2时，f称为集合A上的二元运算。 在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*” 、 “ ∘ ”等。 设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c；若*是一 元运算，a的运算结果记作*a或*(a)。 第6章 代数系统
第6章代数系统 设A=1,a,1},其中，a是非零实数。A→A,定义 为：a∈A,f孔a)=二。容易看出f是A上的一元运算。 又如，fN×N→N,定义为：m,neN,fm,n)=m+n, f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普 通减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相 减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不 是自然数集合N上的二元运算。 通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的运 算必须满足以下两点： ①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是 惟一的。 ②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运 算结果都属于A通常称为运算在A是封闭的
第6章 代数系统 设A=1 , a , ，其中，a是非零实数。f：A→A，定义 为：aA，f(a)= 。容易看出f是A上的一元运算。 又如，f：N×N→N，定义为：m,nN，f(m,n)=m＋n， f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普 通减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相 减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不 是自然数集合N上的二元运算。 通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的运 算必须满足以下两点： ①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是 惟一的。 ②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运 算结果都属于A通常称为运算在A是封闭的。 a 1 a 1
第6章代数系统 【例6.1】设N为自然数集合，*和是NXW到W映射，规 定为：Vm,neN, m*n=min m.n mon=max m.n 则*和是N上的二元运算。 【例6.2】设N=0,1,…,k1}。Nk上的二元运算+定义为： 对于N中的任意两个元素和，有 *1--ki*2 i+j i+j<k 称二元运算+为模加法
第6章 代数系统 【例6.1】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规 定为：m,nN， m∗n=minm,n m∘n=maxm,n 则∗和∘是N上的二元运算。 【例6.2】设Nk =0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为： 对于Nk中的任意两个元素i和j，有 称二元运算+k为模k加法。 + − + + + + = i j k i j k i j i j k i j k
第6章代数系统 N上的二元运算×定义为：对于N中的任意两个元素和 ,有 ixkj- ixj ixj<k i×除以k的余数 i×ji≥k 称二元运算X为模的乘法。 模加法+和模乘法×是两种重要的二元运算。 在N2=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6,4+5=2。如果把N7 中的元素：0,1,2,3,4,5,6分别看作是：星期日、星 期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么 4+,2=6可解释为：星期四再过两天后是星期六；4+，5=2可 解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意 义的一种解释
第6章 代数系统 i j k i j k i j k i j i j k = 除以 的余数 称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7 =0,1,2,3,4,5,6中，有4+7 2=6，4+7 5=2。如果把N7 中的元素：0，1，2，3，4，5，6分别看作是：星期日、星 期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么 4+7 2=6可解释为：星期四再过两天后是星期六；4+7 5=2可 解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意 义的一种解释。 Nk上的二元运算×k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和 j，有