3,洛必达法则 (1)或一不定型 0 工 lim ∫(x) =l(或∞) x→g(x)x→2g(x) (2)0·∞,∞-0,0°,1°,∞0不定型 0 oo 0·∞三 o,一 1 2 0 2 n 10=ex In 0 In oo 0 ∞=cxp 0 0 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） （ ） 或 不定型 0 0 1 （2） 0 , − , 0 0 ,1 , 0 不定型 3. 洛必达法则 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ? ? = = → → l 或 g x f x g x f x x x 0 1 1 0 0 = = = 0 1 ln exp 0 = 1 ln1 1 exp = 0 1 ln 0 0 exp 0 1 2 2 1 1 2 1 1 1 − − =
4.函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 极值定义如果f(x0)是f(x)在x的某邻域内的唯一最大小值,那么 "就称(x)是(x)板大小)值,称是f(x)的一个极大小)值点; 极大值(点和极小值点)统称为极值点) 广单调性定理设函数=f(x)在ab上连续,在ab内可导,那么 (1)如果在(a,b)内∫(x)>0,则函数y=f(x)在a,b上单调增加 (2)如果在a,b内f(x)<0,则函数y=(x)在a1上单调减少 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 如果在 内 ，则函数 在 上单调减少 如果在 内 ，则函数 在 上单调增加 设函数 在 上连续，在 内可导，那么 (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] (1) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] ( ) [ , ] ( , ) a b f x y f x a b a b f x y f x a b y f x a b a b = = 单调性定理 = 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 极大值 点 和极小值点 统称为极值点 ． 就 称 是 的极大 小 值，称 是 的一个极大小 值点； 如 果 是 在 的某邻域内的唯一最大小 值，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x x f x 极值定义 f x f x x
5.函数图形性质的讨论 先求极值可疑点:驻点、不可导点(设为x1x2x3),再按下表判断 (x0,x1)x1(x1, (x2,X3) 3 (x3x4 ∫"(x) f"(x) ∫(x) 图形单增 (m/单减/无 极大 极值/单减极小 单增 x3) 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 5. 函数图形性质的讨论 x (x0, x1) x1 (x1, x2) x2 (x2, x3) x3 (x3, x4) f (x) + - - + f (x) - + f (x) 图形 单增 极大 f ( x1) 单减 无 极值 单减 极小 f ( x3) 单增 先求极值可疑点：驻点、不可导点( 设为x1 ,x2 ,x3 ), 再按下表判断
6.,判定极值的充分条作 取极值必要条件若f(x)在x可导有极值,则x为/(x)的驻点 A极值可疑点:驻点(即使∫(x0)=0的点)、不可微点 极值第一充分条件设连续函数=f(x)在x的去心邻域可导,那么 如果在的左邻域(x)<0,右邻域(x)>0,则(x)在取极小值 A(2)如果在x的左邻域(x)>0,右邻域(x)<0,则(x)在x取极大值 1(3)如果在x的左、右邻域(x)不变号,则(x)在x不取极值 极值第二充分条件设函数=f(x)在驻点x的邻域二阶可导,那么 ()如果r"(xn)>0,则(x)在x取极小值 (2)如果f"(x0)<0,则(x)在x取极大值 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 若 f (x)在 0 x 可导有极值 , 则 0 x 为 f (x)的驻点 极值可疑点： 如果在 的左、右邻域 不变号，则 在 不取极值 如果在 的左邻域 ，右邻域 ， 则 在 取极大值 如果在 的左邻域 ，右邻域 ， 则 在 取极小值 设连续函数 在 的去心邻域可导，那么 0 0 0 0 0 0 0 (3) ( ) ( ) (2) ( ) 0 ( ) 0 ( ) (1) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) x f x f x x x f x f x f x x x f x f x f x x y f x x 极值第一充分条件 = 取极值必要条件 驻点（即使 f (x0 ) = 0的点）、不可微点 如 果 ， 则 在 取极大值 如 果 ， 则 在 取极小值 设函数 在驻点 的邻域二阶可导，那么 0 0 0 0 0 (2) ( ) 0 ( ) (1) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x x f x f x x y f x x 极值第二充分条件 = 6. 判定极值的充分条件
7.最值问题 士求最值的步骤 A1建立目标函数 2.求最值可疑点:驻点、不可导点、边界点 王士 3.确定最值点 (1)求所有最值可疑点的函数值比较即知最值(点) (2)区间上可导函数的唯一极值点必是相应的最值点 (3)若知函数有唯一最值可疑点而由实际问题本身知函数的最 大(小)值一定存在,则该最值可疑点必是所求最大(小)值点 高等数学,( XAUAT)
高等数学（XAUAT） 2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点 (1) 求所有最值可疑点的函数值,比较即知最值(点) (2) 区间上可导函数的唯一极值点必是相应的最值点 求最值的步骤： 1. 建立目标函数 3. 确定最值点： (3) 若知函数有唯一最值可疑点, 而由实际问题本身知函数的最 大(小)值一定存在, 则该最值可疑点必是所求最大(小)值点 7. 最值问题