复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第三章 线性方程组（2/3）

定义:若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为 向量组 当R(A)<n时,齐次线性方程组Ax=0的全体解组成的向量组 含有无穷多个向量 有限向量 组 1a12a1 x=a21a2a2a2|=(a1a,a,a1)=B B3 结论:含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应

定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组．
当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组 含有无穷多个向量．   有限向量 组 11 12 13 14 34 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a A a a a a a a a a     =       = (α α α α 1 2 3 4 , , , ) 1 2 3 T T T β β β     =       结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． 组

定义:给定向量组A:a1,a2,…,am,对于任何一组实数 k1,k2,…,km,表达式 k1a1+ka+…+kna mimi 称为向量组A的一个线性组合 k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数( linear combination) 定义:给定向量组A:a1,a2,…,am和向量b,如果存在一组实 数l1,l2,…,l,使得 6=Ha1+ h2a a 则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A 线性表示

定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数(linear combination)． 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组实 数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示．

e e2, eR 的 例:设E=(2,e2,)=01|0 线性组合 那么b=3=20+31+70=2e1+3e,+7e 线性组合的系数 般地,对于任意的n维向量b,必有 b b=b3|=b0+b20+b1…+bn0

例： 设 ( ) 1 2 3 ) 1 0 0 , , 0 1 0 0 0 1 E e e e     = =       1 0 0 2 0 3 1 7 0 0 0 1             = + +                   1 2 3 = + + 2 3 7 e e e 2 3 7 b     =       那么 e1, e 2, e 3 的 线 性 组 合 0 0 1       7  线性组合的系数 一般地，对于任意的 n 维向量 b ，必有 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n b b b b                         = + + +                                         L M M M M 1 2 3 n b b b b b       =           M

0 0 b=b3=b0+b20+b 001 n阶单位矩阵En的列向量叫做n维单位坐标向量

1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n b b b b                         = + + +                                         L M M M M 1 2 3 n b b b b b       =           M   1 0 0 0 L n 阶单位矩 阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐 标向量． 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E n       =           L L L M M M M L

回顾:线性方程组的表达式 1.一般形式 2.增广矩阵的形式 3x1+4x2-x3=5 x,-x,+2x,=-1 -12 3.向量方程的形式 4.向量组线性组合的形式 5 +x3 方程组有解?→向量是否能用 线性表示?

回顾：线性方程组的表达式 1. 一般形式 3. 向量方程的形式 2. 增广矩阵的形式 4. 向量组线性组合的形式 1 2 3 1 2 3 3 4 5 2 1 x x x x x x  + − =  − + = −  3 4 1 5 1 1 2 1   −     − − 3. 向量方程的形式 4. 向量组线性组合的形式 1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x       −       =       − −     1 2 3 3 4 1 5 1 1 2 1 x x x         −         + + =         − − 方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？ 3 4 1 , , 1 1 2       −             − 51       −