1+1 10)(111+2 B 3-A 11+4)(00-4(3+4)(1-4)(3+A 于是 当λ≠0且九≠-3时,R(A)=R(B)=3,有唯一解 当λ=0时,R(A)=1,R(B)=2,无解 当=-3时,R(A)=R(B)=2,有无限多解
1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 ~ 0 3 1 1 1 0 0 (3 ) (1 )(3 ) r B λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + = + − − + − + − + 于是 • 当 λ ≠ 0 且 λ ≠ －3 时，R ( A) = R ( B) = 3 ，有唯一解． • 当 λ = 0 时，R ( A) = 1， R ( B) = 2 ，无解． • 当 λ = －3 时，R ( A) = R ( B) = 2 ，有无限多解．
1+ B 11+213 +22 解法2:因为系数矩阵A是方阵,所以方程组有唯一解的充 分必要粲件是|A|≠0 1+21 A|=11+1=(3+4) 11+ 于是当λ≠0且λ≠-3时,方程组有唯一解
1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 B λ λ λ λ + = + + 解法2：因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 ． 2 1 1 1 | | 1 1 1 (3 ) 1 1 1 A λ λ λ λ λ + = + = + + 于是当 λ ≠ 0 且 λ ≠－3 时，方程组有唯一解．
当l=0时,B=1113-0001 000 R(A=1,R(B=2,方程组无解 2110 当l=-3时,B=1-213|-01-1-2 112-3)(000 R(A=R(B=2,方程组有无限多个解,其通解为 1+|-2
当 l = 0 时， R(A) = 1， R(B) = 2 ， ) = 2 ，方程组无解． 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 3 ~ 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 r B = 2 1 1 0 1 0 1 1 r − − − 当 l = －3 时， R(A) = R(B) = 2 ， ) = 2 ，方程组有无限多个解 方程组有无限多个解，其通解为 1 2 1 3 ~ 0 1 1 2 1 1 2 3 0 0 0 0 r B = − − − − − 1 2 3 1 1 1 2 1 0 x x c x − = + −
定理:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 R(4)=R(A,B 定理:设AB=C,则R(O≤min{RA,R(B)} 证明:因为AB=C,所以矩阵方程AX=C有解X=B, 于是R(A)=R(A,O R(O≤RA,O,故RO≤R4 又(AB=C,即BA=C,所以矩阵方程BX=C有解 X=A,同理可得,R(O≤RB 综上所述,可知RC≤min{R(4),R(B} 问:≤能否改成=?
定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ． 定理：设 AB = C ，则 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ． 证明：因为 AB = C ，所以矩阵方程 AX = C 有解 X = B， 于是 R(A) = R(A, C) ． R(C) ≤ R(A, C) ，故 R(C) ≤ R(A) ． 又 (AB)T = CT，即 BTAT = CT，所以矩阵方程 BTX = CT 有解 X = AT ，同理可得，R(C) ≤ R(B) ． 综上所述，可知 R(C) ≤ min{R(A), R(B)} ． 问： ≤能否改成= ？
向量组及其线性组合 定义:n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向 量( vector),这n个数称为该向量的n个分量,第i个数a;称 为第玠个分量 口分量全为实数的向量称为实向量 口分量全为复数的向量称为复向量 备注 √本书一般只讨论实向量(特别说明的除外) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量 本书中,列向量用黑体小写字母a,bG月等表示,行向量则用a,b,a, 表示
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向 量（vector），这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称 为第 i个分量． 分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量． 向量组及其线性组合 备注： 本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ． 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量． 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量． 本书中，列向量用黑体小写字母 a, b, α, β 等表示，行向量则用 aT, bT, αT, βT 表示．