《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第二章 随机变量及其分布（3/4）

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量的概率密度例1设X是连续型随机变量，其密度函数为(s)-[e(4x-2x)) 0<×<2其它0求：(1) 常数c;(2) P[X>1)解（1）由密度函数的性质231= [ (x)dx -jc(4x -2x )x = cl 2x2x一8-33所以，c=8

例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为            0 其 它 4 2 0 2 2 c x x x f x 解 求：⑴ 常数c； ⑵ PX  1． 第二章 §4连续型随机变量的概率密度 随机变量及其分布 ⑴ 由密度函数的性质      1  f x dx      2 0 2 c 4x 2x dx 2 0 2 3 3 2 2        c x  x c 3 8  . 8 3 所以， c 

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量的概率密度+8T(4x -2x*)ax(2) P(X >1) = (x)dx=,3-8-2x21P(X e G)= f(x)dx

⑵ PX  1        G P X G f x dx 第二章 随机变量及其分布 §4连续型随机变量的概率密度      2 1 2 4 2 d 8 3 x x x 2 1 2 3 3 2 2 8 3        x  x 2 1        1 f x dx

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量的概率密度例2某电子元件的寿命X（单位：小时）的概率密度为0x ≤100f(x)=^100x > 100(x求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率解设A=某元件在使用的前150小时内需要更换150150100则 P(A)= P[X ≤150} = [(x)dx:dx =23100设Y表示5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数则 Y ~ B(5,1/3)80()()故所求概率为P(Y=2)=C2×243

例2 某电子元件的寿命 X（单位：小时）的概率密度为          100 100 0 100 2 x x x f x 求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个 需要更换的概率. 解 第二章 随机变量及其分布 §4连续型随机变量的概率密度 设 A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换} 则 PA  PX  150      150 f x dx   150 100 2 d 100 x x 3 1  设 Y 表示5 个元件中使用寿命不超过150小时 的元件数， 2 3 2 5 3 2 3 1               C  243 80 故所求概率为 P{Y  2}  则 Y ~ B( 5,1/ 3 )

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量的概率密度例3设随机变量X的密度函数为0<x≤1xf(x)=2-x 1<x<2其它0试求X的分布函数解当x≤0时,F(x)={r(t)dt =0当0<x≤1时, F(x)-()dt =r(0)dt +jr(0)at8t?tdt ==20

例 3 设随机变量X的密度函数为              0 其 它 2 1 2 0 1 x x x x f x 试求 X的分布函数． 解  0          x 当0 x 1时 ，F x f t dt          x f t t f t t 0 0 d d 第二章 随机变量及其分布 §4连续型随机变量的概率密度 当 x  0时，        x F x f t dt 2 2 x    x t t 0 d

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量的概率密度x 0<x≤1例3(续）f(x)=2-x 1<x<2当1<x<2时, F(x)= r(t)dt其它0J r(o)at +J r(0)dr+j r()at - F rdt + j(2-t)at-x2+2x-12当x>2时，F(x)=「(t)dt-j r(oar+j r(o)ar +j r(o)a +j r(o)ar -[ rdr+j(2-0)d=

例 3（续）          x 当 1 x 2时，F x f t dt              x f t t f t t f t t 1 1 0 0 d d d        x t t t t 1 1 0 d 2 d 2 1 2 1 2   x  x  第二章 §4连续型随机变量的概率密度 随机变量及其分布         x 当 x 2时，F x f t dt                  x f t t f t t f t t f t t 2 2 1 1 0 0 d d d d        2 1 1 0 tdt 2 t dt  1              0 其 它 2 1 2 0 1 x x x x f x