ut ed 第二节正项级数及共审敛法 正项级数的概念 二正项级数的审敛法
第二节 正项级数及其审敛法 一 正项级数的概念 二 正项级数的审敛法
正项级数的概念 定义:如果级数∑un中各项均有ln≥0,则称 该级数为正项级数 2部分和数列的特点:S1SS2≤…≤SnS 部分和数列{sn}为单调增加数列 定理1正项级数收敛的充要条件是 部分和数列{n}为有界数列 上一页下一页现回
定理1 正项级数收敛的充要条件是: 部分和数列 {sn } 为有界数列. 1.定义: un 0， 该级数为正项级数. 如果级数 中各项均有 n=1 un 则称 2.部分和数列的特点: s1 s2 sn 部分和数列 {sn } 为单调增加数列. 一 正项级数的概念
定理2(比较审敛法)设∑1和∑v均为正项级数, n=1 H=1 且nsvn(n=1,2,,若∑收敛则∑un收敛 H-=1 co 反之,若∑n发散,则∑v发散 H=1 H=1 oo 证明(1)设σ=∑v H。 L,+…+≤v十ν,+…+ν≤ 即部分和数列有界,由定理1得∑un收敛 =1 上一页下一页返回
且u v (n = 1,2,) n n ,若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un 收敛； 反之，若 n=1 un发散，则 n=1 n v 发散. 设 和 均为正项级数， = =1 n 1 n n n 定理2（比较审敛法） u v 即部分和数列有界,由定理1得 n=1 un 收敛. n u u un s = 1 + 2 ++ , n v + v ++ v 且 1 2 = = 1 (1) n n 证明 v , n n 设 u v
(2)设Sn→>(n→>∞)且 u <y., 则Gn≥Sn→>(n→∞)不是有界数列 ∑发散定理证毕 H=1 推论:若∑un收敛(发散) n=1 且vn≤Amn(m≥Nan≤v),则∑v收敛(发散) H=1 注:比较审敛法的缺点是必须有参考级数 上一页下一页返回
推论: 若 n=1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v ku n N ku v , 则 n=1 n v 收敛(发散). 注：比较审敛法的缺点是必须有参考级数. = n 1 n v 发散 定理证毕. n n 则 s → (n → ) 不是有界数列 (2) s → (n → ) n , n n 设 且 u v
例1讨论P一级数 1+—+—+++— (p>0) 234 的收敛性 1 解设P≤1,∵2,则P-级数发散 n 设P>,由图可知<「m (P>1) S.=1+++…+ 23 n d x dx 区 1+ 1234 上一页下一页返回
o y x ( 1) 1 = p x y p 1 2 3 4 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1+ + ++ − + + + n p n p x dx x dx 1 2 1 1 p 1, 由图可知 − n n p p x dx n 1 1 设 解 p 1, , 1 1 n n p 设 则 P − 级数发散. 例1 讨论 P − 级数 的收敛性. ( 0) 1 4 1 3 1 2 1 1+ + + + + + p n p p p p