第二节 第七章 数量积向量积*混合积 两向量的数量积 二、 两向量的向量积 *三、 向量的混合积
*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七章
一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为。，则力F所做的功为 W=Fs cose 1.定义 设向量a,b的夹角为0，称 M 记作 a.B W=F.5 为a与的数量积（点积） 下页返回结束
M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s = M2 a b 为a与b的 a , b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当a≠0时，b在a上的投影为 |6cos0记昨Pr万 故 a.b=aPrja万 同理，当b≠0时， a.b=bPrjga 2.性质 a≠0，b≠0 (1)aa=az 则ab=0 (2)a,为两个非零向量，则有 1 ab-0-aLb
b 在a上的投影为 记作 故 同理,当 0 时, b 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ba b Prj a b = a ba Prj (1) a a = (2) a ,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a 0, b 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.运算律 ()交换律a.b=bd (2) 结合律(2,4为实数) (2b=a(b=(a.b) (a+b) (2a)(ub)=(a.(ub) =24(ab) Prje a Prjc b (3)分配律(a+b)c=ac+b. Prjc(a+B) 事实上，当c=0时，显然成立；当c≠0时 (@+b)@=|Prjc(a+B)=||(Prjea+PrjcB) Prjza+Prjcb =a.c+b.c 上页下页返回结球
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a )( b ) = ( a ( b) ) = (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c (a + b) b a bc a Prj c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj ac = c Prj bc + c Prj = a c + b c Prj (a b) c + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明三角形余弦定理 c2 a2+b2-2abcos0 证：如图.设 CB-a,CA=b,AB=c 则 c-a-b B a c-(反-@-b)=a.a+b-b-2a-6 a+32-2 abcoso a=a,b=b,c=7 c2 a2 b2-2abcos0
A B C a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, C A = b, AB = c = 2 c ( a − b )( a − b )= a a + b b − 2 a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束