⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 罗尔(Roll)定理如果函数 1)f(x)在闭区间[{a,b上连续 (2)在开区间(a,b)内可导, (3)且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那末在 (a,b)内至少有一点(a<ξ<b),使得函数f(x)在该点 的导数等于零, 即f(2)=0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 罗尔（Rolle）定理 如果函数 (1) f (x)在闭区间 [a,b]上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, (3)且在区间端点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在 (a,b)内至少有一点(a b),使得函数 f (x)在该点 的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在-1,3连续在(-1,3)上可导且f(-1)=f(3)=0 ∵∫(x)=2(x-1), 取ξ=1,(1∈(-1,3))∫()=0. 几何解释 y 在曲线弧AB上至少有 C 点C,在该点处的切线是 J 水平的 51 abx 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0. f (x) = 2(x −1), 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证∵f(x)在[a,b连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则∫(x)=M 由此得f(x)=0.Vξ∈(a,b),都有∫(2)=0 (2)若M≠m ∵∫(a)=∫(b), 最值不可能同时在端点取得 设M≠f(a), 则在(a,b)内至少存在一点使∫(4)=M f∫(+△x)≤∫(ξ), ∫(ξ+△x)-∫(2)≤0, 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0, 2004-4-10