⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节高阶导数 1如果y=f(x)的导数存在,称为y=f(x)的二阶导数 或 d dy 记作)dx2如() 2.y仍是x的函数,还可以进一步考虑 3 有三阶导数ym或, d x 四阶导数p/4)或ay d x n阶导数y或“y d x
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 高阶导数 1.如果 的导数存在，称为 的二阶导数 记作： ， 或 y f (x) y = f (x) = 2 2 dx d y ( ) dx dy dx d y 2. y 仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 或 ， 四阶导数 或 ， …… n阶导数 或 . y 3 3 dx d y (4) y 4 4 dx d y (n) y n n dx d y
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 3f(x)在x处有m阶价导数,那么fm1(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于m阶的导数;二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数 4问题:如何求函数的高阶导数? 步一步来,利用已知函数的一阶导数公式及运算法则 高阶导数应用举例 例1y=ax+b,求y 解y=a,y"=0 例2s=sino,求s 解S=0cosa,"=-o2sinr
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 3.f(x)在x处有n阶导数，那么 在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数 ( ) ( 1) f x n− 4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则 高阶导数应用举例 解 y = a, y = 0 例1 y=ax+b, 求 y 例2 s = sint, 求 s 解 s cost,s sint 2 = = −
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3证明:函数y=V2x-x2满足关系式 yy 证将y=V2x-x2求导,得 2-2x 1-x 2 2r-x 2x-x 2-2x Vx-x2-(1-x) V2r-x 2x-x 2 2 2x+x2-(1-x) (2x-x)2√2x-x2 (2x-x2)2y
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 证明:函数 y = 2x − x 2 满足关系式 1 0 3 y y + = 证 将 y = 2x − x 2 求导,得 , 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x x x x y − − = − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) x x x x x x x x y − − − − − − − = 3 2 2 2 2 2 1 (2 ) 1 (2 ) 2 2 (1 ) 2 3 x x y x x x x x x x = − − = − − − − + − − =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 于是 yy"+1=0 下面介绍几个初等函数的n阶导数 例4求指数函数y=e的m阶导数 解 般地,可得 即 x\(n e 例5求正弦与余弦函数的n阶导数
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 于是 1 0 3 y y + = 下面介绍几个初等函数的n阶导数 例4 求指数函数 的n阶导数 x y = e 解 x x x x y = e y = e y = e y = e (4) , , , 一般地,可得 , (n) x y = e 即 x n x e = e ( ) ( ) 例5 求正弦与余弦函数的n阶导数
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 y=sinx =cOSx=sin(x+ 元 元兀 y=cos(x+=sin(x+-+ 22 sin(x+2.7 元 y"=c0s(x+2·)=sin(x+3·), J=cos(x+3.分 兀、 )=sin(x+4·) 般地,可得 y=sin(x+n·) (sin x)y=cos(x+n
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 y = sin x, ), 2 cos sin( y = x = x + ) 2 2 ) sin( 2 cos( y = x + = x + + ), 2 sin( 2 = x + ), 2 ) sin( 3 2 cos( 2 y = x + = x + ), 2 ) sin( 4 2 cos( 3 (4) y = x + = x + 一般地,可得 ), 2 sin( ( ) y = x + n n 即 ). 2 (sin ) cos( ( ) x = x + n n