f() ,x为fx的连续点 受+空am受x+6m气小+o0飞-0，灯胸间断点 /1+0+f-0,x=出 2 四、思考题 1、已知数列红，小级数∑4，及其部分和S。-∑4：，请思考下列问题： ①红，}卢空，是香同收致。同发数：②三”与5，是香同收线。同发数 （3)级数∑，的部分和S,与级数∑，的部分和0，是否相同 2、判断下列结论是否正确，并说明原因或举出反例： （)若∑私，发散，则m“,≠0： 2希空，与，都发数。则空，士，小必发面若空收金，发数。则 a,士)发做 (3)添括号后的级数发散，则原级数发散 (4)指出下列做法是否正确，为什么？ 因为+0-2广若上式*，取2，将h3-2) (5)幂级数在其收敛区间内逐项微分（积分）后所得级数与原级数得收敛区间有何异同？ (6)若-)=(，问(x)与(x)的傅立叶级数间有何关系？ (7)若-x)=-x),问(x)与px)的傅立叶级数间有何关系？ (8)若fx)在【π，π小上有连续的一阶导数，且f(π)=fπ)，试问fx)与f"()的傅立 叶系数有何关系？
70 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + + − + + − = + + = x l f l f l x f x f x f x f x x f x x l n x b l n a a n n n ， ， 为 的间断点 ， 为 的连续点 2 0 0 2 0 0 cos sin 2 1 0 四、思考题 1、已知数列 un ，级数 n=1 n u ，及其部分和 = = n k Sn uk 1 ，请思考下列问题： （1） un 与 n=1 n u 是否同收敛，同发散？（2） n=1 n u 与 Sn 是否同收敛，同发散？ （3）级数 n=1 n u 的部分和 S2n ，与级数 =1 2 n u n 的部分和 n 是否相同？ 2、判断下列结论是否正确，并说明原因或举出反例： （1）若 n=1 n u 发散，则 lim 0 → n n u ； （2）若 n=1 n u 与 n =1 n v 都发散，则 ( ) = n 1 n n u v 必发散；若 n=1 n u 收敛， n =1 n v 发散，则 ( ) = n 1 n n u v 发散。 （3）添括号后的级数发散，则原级数发散。 （4）指出下列做法是否正确，为什么？ 因为 ( ) = − + = − 1 1 ln(1 ) 1 n n n n x x ，上式中，取 x =2，得 ( ) n n n n 2 ln 3 1 1 1 − = = − . （5）幂级数在其收敛区间内逐项微分（积分）后所得级数与原级数得收敛区间有何异同？ （6）若 (− x) =(x) ，问 (x) 与 (x) 的傅立叶级数间有何关系？ （7）若 (− x) = −(x) ，问 (x) 与 (x) 的傅立叶级数间有何关系？ （8）若 f (x) 在 −, 上有连续的一阶导数，且 f (− ) = f ( ) ，试问 f (x) 与 f (x) 的傅立 叶系数有何关系？
五我分新。 2)1 分析要判断级数4，的收敛性，首先看“，是否为零，若不为零。则级数∑北发 解)，=ns x由于 血，=无 n 所以，级数立a由兰是发敬的。 (2)4n= 由重要极限m0+”=e,知%，=e≠0， + 所以，级数∑1发散 + o%-h 显然m”。=0,此时不能做出收敛的结论。 由定义，极数的部分和S=+h子+h子+h品 -h号- 当n→时→0不在，所以级数空是发的， 例2判别级数的收敛性： ω器 @非司 分析熟悉无穷级数的基本性质以及级数、等比级数的收敛性，对判别本题级数的收敛性
71 五、典型例题分析 例1 判别级数的收敛性： （1） =1 sin n n n ； （2） = + 1 ) 1 (1 1 n n n ； （3） =1 +1 ln n n n . 分析 要判断级数 n=1 n u 的收敛性，首先看 n n u 0 lim → 是否为零，若不为零，则级数 n=1 n u 发 解 （1） = = n n n u n n sin sin 由于 0 sin lim = lim = → → n n u n n n 1) sin (lim 0 = → x x x 所以，级数 =1 sin n n n 是发散的。 （2） n n n u ) 1 (1 1 + = 由重要极限 e n n n + = → ) 1 lim (1 ，知 lim = 0 → u e n n ， 所以，级数 = + 1 ) 1 (1 1 n n n 发散。 （3） 1 ln + = n n un 显然 lim 0 0 = → n n u ，此时不能做出收敛的结论。 由定义，级数的部分和 1 ln 4 3 ln 3 2 ln 2 1 ln + = + + + + n n Sn , 1 1 ) ln 3 1 2 2 1 ln + = + = n n n （ 当 n → 时， 0 1 1 → n + ， 1 1 lim ln n→ n + 不存在，所以级数 =1 +1 ln n n n 是发散的。 例 2 判别级数的收敛性： （1） = + 1 2 2 2 2 n n n n n ； （2） = − 1 2 1 1 n n n . 分析 熟悉无穷级数的基本性质以及 p 级数、等比级数的收敛性，对判别本题级数的收敛性