三、i函数的初等性质1.函数的奇偶性Vx E D，f(-x)=-f(x),f(x)称为奇函数VxE D，f(-x)= f(x),f(x)称为偶函数2.函数的增减性Vx,x2 EI, X <x =f(x)≤ f(x)(f(x)<f(x2,称f为单调增函数（严格单调增函数）Vx,x2 EI, Xi<x2 = f(xi)≥ f(x2)（f(x)>f(x2）),称f为单调减函数2026/9/226（严格单调减函数福
三、函数的初等性质 1. 函数的奇偶性 x D, f (−x) = − f (x), f (x)称为奇函数 x D, f (−x) = f (x), f (x)称为偶函数 2. 函数的增减性 ) f x ) f ( x ) , f x , x I, x x f ( x ) f ( x ) （严格单调增函数 （ 1 2 ）称 为单调增函数 1 2 1 2 1 2 ( ) ( f ( x ) f ( x ) ), f x , x I, x x f ( x ) f ( x ) （严格单调减函数 1 2 称 为单调减函数 1 2 1 2 1 2 2026/9/22 6
3.函数的周期性T>0,VxER=f(x+T)=f(x)称f为周期函数若f有最小周期T,则称T是 f的周期[注意]并不是所有的函数都有最小周期例如：考察狄里克雷函数当x为有理数@(x) :=0.当x为无理数72026/9/22
3. 函数的周期性 称 f 为周期函数 T 0,x R f ( x +T ) = f ( x ) 若 f 有最小周期T,则称T 是 f 的周期 [注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数 = 当 为无理数 当 为有理数 x x x 0, 1, ( ) 2026/9/22 7
4.函数的有界性定义：(1)如果存在一个实数 M,使得对每一个 xED,都有f(x)≤M,则称函数 f在D上是有上界的(2)如果存在一个实数 N,使得对每一个xED,都有f(x)≥N则称函数 f在D上是有下界的82026/9/22
4. 函数的有界性 定义： (1) 如果存在一个实数 M,使得对 每一个 x D,都有 f ( x ) M , 则称函数 f 在 D上是有上界的. (2) 如果存在一个实数 N,使得对 每一个 x D,都有 f ( x ) N 则称函数 f 在 D上是有下界的. 2026/9/22 8
(3)既有上界又有下界的函数,称为有界函数即存在一个正数 M >0,使得对于f(x)≤ M.每一个xED,成立J=e*和=e-x[例]x E(-80, +8)因为VxE(-00, +0),有e>0 和e-×>0所以, =e*和 =e-x 在(-0,+o)上有下界,无上界92026/9/22
. (3) , 有界函 数 既有上界又有下界的函 数 称为 即存在一个正数 M 0,使得对于 每一个 x D,成立 f (x) M. [例 ] = = (−, + ) − y e y e x x 和 x (−, + ), 0 0 x − x 因为 x 有 e 和 e , . , ( , ) , 有下界 无上界 所以 y = e x和 y = e− x 在 − + 上 2026/9/22 9
[问题]如何定义无界函数？如果对任意的正数 M >0,总存在xED使得f(x*)>M,则称函数f在D上无界在(-80,0)U(0,+8)上是无界的[例] = x1则有对任意的M>0,取x2M1=2M>MxX=X对任意的>0,在(-80,]U[S,+0)上是11有界的≤一102026/9/22x
[问题] 如何定义无界函数？ ( ) , . 0, , * * 使得 则称函数 在 上无界 如果对任意的正数 总存在 f x M f D M x D [例] ( , 0) (0, ) . 1 = 在 − + 上是无界的 x y . 0, ( , ] [ , ) 有界的 对任意的 在 − − + 上是 对任意的 取 ,则有 2 1 0, * M M x = M M x x x = = 2 1 * 1 1 x 2026/9/22 10