第九章*第十节最小二乘法问题的提出：已知一组实验数据（xk，k）（k=0l,,n),求它们的近似函数关系 y=f(x)需要解决两个问题1.确定近似函数的类型·根据数据点的分布规律x·根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准·实验数据有误差,不能要求 y;=f(x,）0000目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 *第十节 第九章 问题的提出: 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y＝f (x) . 需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 • 根据数据点的分布规律 • 根据问题的实际背景 2. 确定近似函数的标准 ( ) i i •实验数据有误差, 不能要求 y = f x 最小二乘法 O y x
·偏差r,=y;-f(x;)有正有负,为使所有偏差的绝对可由偏差平方和最小直都较小且便于计算nE[y; - f(x;)} =mini=0来确定近似函数f(x)x最小二乘法原理设有一列实验数据(x,）(k=0,1,,n)，它们大体分布在某条曲线上，通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法，找出的函数关系称为经验公式00C自录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 • 偏差 ( ) i i i r = y − f x 有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 [ ( )] min 2 0 − = = i i n i y f x 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数 f (x) . 最小二乘法原理: 设有一列实验数据 分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 . , 它们大体 O y x
特别，当数据点分布近似一条直线时，问题为确定α,b使y=ax+b满足VnM(a,b)=E(yk -axk -b)2=mink=0nam=-2 E(yk -ax -b)xk = 0xaak=0令nam称为法方程组=-2Z(y -ax -b)=0ab（注意其特点）k=0nnx )a+(Zx )b=4Xkykk=0k=0解此线性方程组k=0得"Wn即得α,b(Zxxk )a+ (n+1)b=ykk=0k=00000X自录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 令 ( ) min 2 0 − − = = y ax b k n k = k M (a,b) = a M = b M 使 y = ax + b 满足: 得 ( x )b n k k = + 0 ( x )a n k k =0 解此线性方程组 即得 a, b 称为法方程组 (注意其特点) O y x
例1为了测定刀具的磨损速度每隔1小时测一次刀具的厚度得实验数据如下t;(h)7y;(mm)27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.324.8找出一个能使上述数据大体适合的经验公式解：通过在坐标纸上描点可看出它们V000000大致在一条直线上，古故可设经验公式为0y=ax+bO列表计算000自目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度, 得实验数据如下: 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上, 列表计算: 故可设经验公式为 y = ax + b O y t 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
福yittYi'00027.0..749724.8137.628140208.5717.0Z140a+28b = 717得法方程组28a + 8b=208.5故所求经验公式为解得a =-0.3036,b=27.125,古y = f(t) = -0.3036t + 27.125为衡量上述经验公式的优劣，计算各点偏差如下0000自目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 得法方程组 140 a + 28b 28a + 8b = 208.5 = 717 解得 a = −0.3036, b = 27.125, 故所求经验公式为 y = f (t) = −0.3036t + 27.125 i t 0 i 2 i t i y i i y t 7 0 0 27.0 0 7 49 24.8 137.6 28 140 208.5 717.0 为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下: