例5.4.4求f(x)=2在x=0处的 Taylor公式 解将2写成e,令n=(mn2)x并对e“使用例541的 Taylor公 式,代回变量即有 1+(ln2)x 2)2x2(n2)3x (ln2) +∴ o(x") 2
例 5.4.4 求 f x x ( ) = 2 在 x = 0处的 Taylor 公式。 解 将2x 写成e(ln ) 2 x ，令u x = (ln ) 2 并对eu使用例 5.4.1 的 Taylor 公 式，代回变量即有 )( !)2(ln !3)2(ln !2)2(ln )2(ln12 22 33 n nn x xo n x x x x ++= + " ++ +
例5.4.5求f(x)=v2-cosx在x=0处的 Taylor公式(展开至4 次)。 解令u=1-c0sx,则当x→0时u→0,于是 V2-coSx=1+(1-cosx)=V1+u=1+-+o(u?) 1-cOS x (1-cos x) +o((1-cos x)) 由于 x COSX +O(x), 代入上式,得到展开式 √2-c0sx=1+-+o(x) 624
例 5.4.5 求 fx x ( ) cos = − 2 3 在 x = 0处的 Taylor 公式（展开至 4 次）。 解 令u x = −1 cos ，则当x → 0时u → 0，于是 2 3 3 2 3 2 2 2 cos 1 (1 cos ) 1 1 ( ) 3 9 1 cos (1 cos ) 1 ((1 cos ) ). 3 9 u u x xu o u x x o x − = + − = + =+ − + − − =+ − + − 由于 )( 242 cos1 4 42 xo xx x +−=− ， 代入上式，得到展开式 )( 246 1cos2 4 42 3 xo xx x +−+=−
例5.4.5求f(x)=v2-cosx在x=0处的 Taylor公式(展开至4 次)。 解令u=1-c0sx,则当x→0时u→0,于是 V2-coSx=1+(1-cosx)=V1+u=1+-+o(u?) 1-cOS x (1-cos x) +o((1-cos x)) 由于 x COSX +O(x), 代入上式,得到展开式 √2-c0sx=1+-+o(x) 624 请读者思考一下,为什么不能将√2-cosx化为v2 COSX 再对1 COSX 使用例54.3的结论
请读者思考一下，为什么不能将 2 3 − cos x 化为 2 3 ⋅ 1 2 3 − cos x ， 再对 1 2 3 − cos x 使用例 5.4.3 的结论。 例 5.4.5 求 fx x ( ) cos = − 2 3 在 x = 0处的 Taylor 公式（展开至 4 次）。 解 令u x = −1 cos ，则当x → 0时u → 0，于是 2 3 3 2 3 2 2 2 cos 1 (1 cos ) 1 1 ( ) 3 9 1 cos (1 cos ) 1 ((1 cos ) ). 3 9 u u x xu o u x x o x − = + − = + =+ − + − − =+ − + − 由于 )( 242 cos1 4 42 xo xx x +−=− ， 代入上式，得到展开式 )( 246 1cos2 4 42 3 xo xx x +−+=−