a)a(a-1)…(a-k+1 k k 并规定 0 当a为正整数n时,=C,1≤j≤n,因而它是组合数的推 由此得到 (1+x) x+ x”+r2(x), 它的余项为 r1(x)=0(x"),或r( 1+t) 6∈(0,1) n
记 , ! )1()1( k k k +−− =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α " ααα 并规定 1 0 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α 。 当 α 为正整数 n时， n j n j ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = C ，1 ≤ ≤ nj ，因而它是组合数的推广。 由此得到 n x n x xxx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =+ α αααα α 2 3 " 3210 )1( + r x n ( )， 它的余项为 )()( n n = xoxr ，或 )1( )1,0( , 1 )( 1)1( ⋅+ ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ++− θ θ α α nn n xx n xr
下面是几种最常见的情况。 (a)当a为正整数n时,上式即成为 0(6/4 ∑C 这是熟知的二项式展开定理,此时的余项为零
下面是几种最常见的情况。 (a) 当 α 为正整数 n时，上式即成为 ( ) 1 C 0 0 + = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = = = x ∑ ∑ n k x x n k n k n k k k n ， 这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零
下面是几种最常见的情况。 (a)当a为正整数n时,上式即成为 k ∑Ch 这是熟知的二项式展开定理,此时的余项为零 (b)当a=-1时,易知,=(-1,因此 =1-x+x-x4+(-1)x+Fn(x), 1+x 余项为 (x)=0x”),或r(x)=(-1) 6∈(0,1) (1+bx)
(b)当α −= 1时，易知⎛−⎝⎜ ⎞⎠⎟ = − 1 1 k k ( ), 因此 nn xxxx x x 1 )1( 1 1 432 −+−+−+−= + " + r x n ( )， 余项为 )()( n n = xoxr ，或 1 1 2 ( ) ( 1) , (0,1) (1 ) n n n n x r x x θ θ + + + = − ∈ + 。 下面是几种最常见的情况。 (a)当α 为正整数n时，上式即成为 ( ) 1 C 0 0 + = ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ = = = x ∑ ∑ nk x x n kn k nk k kn ， 这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零
(c)当a=时,对k≥1,有 (-1)…(-k+1) k (1-2(1-4)…(1-2(k-1)2 k=1, 2k! k-1(2k-3) k>1, (2k)! 其中记号为 k(k-2)(k-4)…6·4·2,k=2n, k!! k(k-2)(k-4)…53.1,k=2n+1 因此, 1·3 (2n-3 +x=1+-x x”+r1(x), 2.4 9 (2m)! 余项为 n+1 (x)=o(x"),或r(x)=(-1)y (2n-1)!!x b∈(0,1)。 (2n+2)(1+0x)2
(c) 当 2 1 α = 时，对 k ≥ 1，有 ! )1()1( 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k +−− =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ " !2 ))1(21()41)(21( k k k − − − − = " ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ > − − = = − ,1 , !)!2( !)!32( )1( , ,1 2 1 1 k k k k k 其中记号 k !! 为 ⎩ ⎨ ⎧ +=⋅⋅−− =⋅⋅−− = .12,135)4)(2( ,2,246)4)(2( !! kkk nk kkk nk k " " 因此， n n x n n xxx x !)!2( !)!32( )1( 642 31 42 1 2 1 11 2 3 1 − −+− ⋅⋅ ⋅ + ⋅ −+=+ " − + r x n ( )， 余项为 )()( n n = xoxr ，或 1 2 1 (2 1)!! ( ) ( 1) , (0,1) (2 2)!!(1 ) n n n n n x r x n x θ θ + + − = − ∈ + +
(d)当a=-时,对k≥1,有 (-)(--1)…(号-k+1) k k! (-1)(-1-2)(-1-4)…(-1-2(k-1) 2k 2k-1) (2k)! 因此 1.3 1.3.5 1--x+ (2n-1 x 2.4.6 x”+rn(x), √1+x (2n)!! 余项为 r(x)=o(x),或r(x)=(-1(2n+1)x21 ∈(0,1)。 (2n+2)(1+x)
(d)当 21 α −= 时，对k ≥ 1，有 , !)!2( !)!12( )1( !2 ))1(21()41)(21)(1( ! )1()1)(( 21 21 21 21 k k k k k k k k k − −= −−−−−−−− = +−−−−− =⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− " " 因此 n n x n n xx x x !)!2( !)!12( )1( 642 531 42 31 21 1 11 2 3 − −+− ⋅⋅⋅ ⋅ − ⋅⋅ +−= + " + r x n ( )， 余项为 )()( n n = xoxr ，或 )1,0(, )1( !)!22( !)!12( )1()( 2 3 1 1 ∈ + + + −= + + + θ θ n n n n x x n n xr