第八章反常积分 §1反常积分的概念和计算 反常积分 前面讨论 Riemann积分时,假定了积分区间[a,b]有限且被积函 数f(x)在anb上有界,但在实际应用中经常会碰到不满足这两个条 件,却需要求积分的情况。所以,有必要突破 Rieman积分的限制 条件,考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题,这样的积分称 为反常积分(或广义积分),而以前学过的 Riemann积分相应地称 为正常积分(或常义积分)
反常积分 前面讨论 Riemann 积分时，假定了积分区间[, ] a b 有限且被积函 数 f x( )在[, ] a b 上有界，但在实际应用中经常会碰到不满足这两个条 件，却需要求积分的情况。所以，有必要突破 Riemann 积分的限制 条件，考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分称 为反常积分（或广义积分），而以前学过的 Riemann 积分相应地称 为正常积分(或常义积分)。 第八章 反常积分 §1 反常积分的概念和计算
先来看一个实际例子。 例8.1.1由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低 初速度即第二宇宙速度。 解设从地面垂直向上发射的质量为m的物体飞出地球引力范 围所需的最低初速度为v若它从地球表面飞到无穷远处克服地球引 力所做的功为W,则由功能原理,v须满足 mv≥W 因此,要求出第二宇宙速度,必须先求出物体从地球表面飞到无穷远 处克服地球引力所做的功
先来看一个实际例子。 例 8.1.1 由万有引力定律导出物体脱离地球引力范围的最低 初速度即第二宇宙速度。 解 设从地面垂直向上发射的质量为 m的物体飞出地球引力范 围所需的最低初速度为v0。若它从地球表面飞到无穷远处克服地球引 力所做的功为W ，则由功能原理，v0须满足 1 2 0 mv W 2 ≥ 。 因此，要求出第二宇宙速度，必须先求出物体从地球表面飞到无穷远 处克服地球引力所做的功
以地球质心为原点建立一维坐标,记 地球半径为R,设物体在r处所受到的地球 引力为F(r)(r≥R),则由功的定义和微元 法,有 dw=-F(r)dr, W就是函数-F(r)在无穷区间[a+∞)上的 积分值。我们将它形式地写成 R F(rdr 图8.1.1
以地球质心为原点建立一维坐标，记 地球半径为 R，设物体在 r 处所受到的地球 引力为 F r( )( ) r R ≥ ，则由功的定义和微元 法，有 d ( )d W Fr r = − ， W 就是函数 − F r( )在无穷区间[, ) a + ∞ 上的 积分值。我们将它形式地写成 ( )d R W Fr r +∞ = − ∫ 。 r x R 图8.1.1
为了求这个积分,先考虑物体从地面 (r=R)飞到r=x(x>R)处克服地球引力所做 的功W(x)(图81.1) W(x)=-| F(r)dr 记M为地球的质量,由万有引力定律,有 Mm F(r=-G (G为万有引力常数) 而在地球表面,地球的引力即为重力,记g是重 力加速度,有 R Mn F(R=G R mg 解得G=,从而 图8.1.1 M W(x)=Rmg[-2 dr=R'mgl R = Rmgl 1 r x
为了求这个积分，先考虑物体从地面 （r R = ）飞到 r = x ( ) x R > 处克服地球引力所做 的功 xW )( （图 8.1.1）： W x( ) ( )d x R = − F r r ∫ 。 记 M 为地球的质量，由万有引力定律，有 F r( ) = − G Mm r 2 （ G 为万有引力常数）， 而在地球表面，地球的引力即为重力，记 g 是重 力加速度，有 F R( ) = − G Mm R 2 = −mg， 解得 G R g M = 2 ，从而 W x( ) 2 2 1 d x R R mg r r = ∫ x R r gmR ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= x R gRm 1 。 r x R 图8.1.1
W(x)=R'mgr2-dr=R'mgl R mg R 显然,W=limW(x),因此 X→+0 W F(r)dr=lir F(rdr]=lim Rmg R=Rmg x→+0 X→+00 x 将W=Rmg以及g=9.8m3,地球半径R≈6371km代入关于v的不等式, 得到 2W 2Rg=√2×6371×98×103≈112(km/s) h 这就是第二宇宙速度
W x( ) 2 21 d xR R mg r r = ∫ x R r gmR ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛−= 2 1 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ −= xR gRm 1 。 显然， xWW )(lim x +∞→ = ，因此 W = ( )d R F r r +∞ −∫ +∞→ = xlim ( ) ( )d xR − F r r ∫ +∞→ = xlim ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − xR gRm 1 = gRm 。 将 = RmgW 以及 2 g = 9.8m/s ，地球半径 R ≈ 6371 km代入关于v0的不等式， 得到 v W m 0 2 ≥ = 2Rg = 3 108.963712 − ××× ≈ 11.2 (km/s)。 这就是第二宇宙速度