§6定积分的数值计算 数值积分 对于求定积分,虽然有了 Newton- Leibniz公式,但在整个可积函 数类中,能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分,也就是说, 对绝大部分在理论上可积的函数,并不能用 Newton-Leibniz公式求得 其定积分之值。 另一方面,在实际问题中,许多函数只是通过测量、试验等方法 给出了在若干个离散点上的函数值,如果问题的最后解决有赖于求出 这个函数在某个区间上的积分值,那么 Newton- Leibniz公式是难有用 武之地的 所以需要寻找求定积分的各种近似方法,数值积分是其中最重要 的一种
数值积分 对于求定积分，虽然有了 Newton-Leibniz 公式，但在整个可积函 数类中，能够用初等函数表示不定积分的只占很小一部分，也就是说， 对绝大部分在理论上可积的函数，并不能用 Newton-Leibniz 公式求得 其定积分之值。 另一方面，在实际问题中，许多函数只是通过测量、试验等方法 给出了在若干个离散点上的函数值，如果问题的最后解决有赖于求出 这个函数在某个区间上的积分值，那么 Newton-Leibniz 公式是难有用 武之地的。 所以需要寻找求定积分的各种近似方法，数值积分是其中最重要 的一种。 §6 定积分的数值计算
从数值计算的观点来看,若能在[a,上找到一个具有足够精度的 替代f(x)的可积函数p(x),而p(x)的原函数可以用初等函数P(x)表示, 比如,p(x)为f(x)的某个插值多项式,那么便可用p(x)的积分值近似 地代替f(x)的积分值,即 f(x)drx p(x)dx=P(x)I 此外,从定积分的几何意义知道,将积分区间分得越细,小块近 似面积之和与总面积就越是接近。因此,用简单函数替代被积函数, 并将积分区间细化是数值积分的主要思想
从数值计算的观点来看，若能在[,] a b 上找到一个具有足够精度的 替代 f x( )的可积函数 p x( )，而 xp )( 的原函数可以用初等函数 xP )( 表示， 比如， p x( ) 为 f x( )的某个插值多项式，那么便可用 p x( )的积分值近似 地代替 f x( )的积分值，即 ( )d b a f x x ∫ ( )d b a ≈ p x x ∫ b a = xP )( 。 此外，从定积分的几何意义知道，将积分区间分得越细，小块近 似面积之和与总面积就越是接近。因此，用简单函数替代被积函数， 并将积分区间细化是数值积分的主要思想
Newton- Cotes求积公式 这是一个取等距结点的数值积分公式。 将积分区间[a以步长h=b分成n等份,以分点 n x1=a+i(i=012;…,n-1,n) 为结点作f(x)的 Lagrange插值多项式 X-x (x)=P(x)=∑∏ f(x)
Newton-Cotes 求积公式 这是一个取等距结点的数值积分公式。 将积分区间[, ] a b 以步长h b a n = − 分成n等份，以分点 ihaxi = + （ i = " − ,1,,2,1,0 nn ） 为结点作 f x( )的 Lagrange 插值多项式 f x( ) ≈ )( )( 0 0 i n i n ij j ji j n xf xx xx xp ∑ ∏ = ≠ = ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ −− =
对等式两边在{a,b上积分,便有 ∫r(xAx≈Jp2(x)x=(b-a)cmf(x) 这里, (n) ∫∏xdx(令x=a+h) =0x1-x J≠ h立d=1 (-1) (t-jdt =0l ni!(n-1)!0 j=0 这就是n步 Newton- Cotes求积公式,计算时需取n+1个结点,相应的 Cm称为 Cotes系数,它与积分区间和被积函数无关,可通过求多项式 的积分事先算好
对等式两边在[, ] a b 上积分，便有 ( )d b a f x x ∫ ( )d b n a ≈ p x x ∫ = − = ( ) () ∑ ( ) b a C fx i n i n i 0 . 这里， ( ) 0 1 d n b n j i a j i j j i x x C x ba x x = ≠ − = − − ∫ ∏ （令x = a th + ） 0 0 d n n j j i h tj t ba i j = ≠ − = − − ∫ ∏ 0 0 1 ( 1) ( )d !( )! n i n n j j i t jt ni n i − = ≠ − = − − ∫ ∏ 。 这就是n步 Newton-Cotes 求积公式，计算时需取n +1个结点，相应的 Ci( ) n 称为 Cotes 系数，它与积分区间和被积函数无关，可通过求多项式 的积分事先算好
Cotes系数具有如下性质: 1.对称性。可从C(的表达式直接算出 cIm)= cln i=0,1,2,…,n-1,n. 2.规范性。由于 Newton-Cotes公式对∫(x)≡1是精确成立的, 因此 ∫"dx=(b-a)>c (n 即
Cotes 系数具有如下性质： 1. 对称性。可从Ci( ) n 的表达式直接算出 Ci( ) n = Cn i −( ) n ， i nn = 012 1 ,, , , , " − . 2. 规范性。 由于 Newton-Cotes 公式对 f x( ) ≡ 1是精确成立的， 因此 1 d b a ⋅ x ∫ = − = ( )∑ ( ) ba Ci n i n 0 ， 即 Ci n i n ( ) = ∑ = 0 1