孤立奇点 奇点 ·复平面上函数不解析的点 冬孤立奇点 ·函数在z,不解析 ▣但在z的去心领域0<z-z<δ内处处解析 ·则zn称为f(z)的孤立奇点 e 1- z=0 nπ lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数
lexu@mail.xidian.edu.cn lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 6 孤立奇点 奇点 复平面上函数不解析的点 孤立奇点 函数在 z0 不解析 但在 z0 的去心领域 0< |z-z0|<δ内处处解析 则 z0 称为 f (z) 的孤立奇点 1 z 1 z e 1 1 sin z z=0 1 n z n
孤立奇点 ·由洛朗级数展开性质可知，函数在其孤立 奇点的去心领域内必可展开成洛朗级数 根据洛朗展开式的不同特点，可将孤立奇 点分为三类： ·可去奇点 ·极点 ■本性奇点 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数●
lexu@mail.xidian.edu.cn lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 7 孤立奇点 由洛朗级数展开性质可知，函数在其孤立 奇点的去心领域内必可展开成洛朗级数 根据洛朗展开式的不同特点，可将孤立奇 点分为三类： 可去奇点 极点 本性奇点
可去奇点 必可去奇点 ·若洛朗级数中不含z-z负幂项，则孤立奇点z0 称为函数f()的可去奇点 0<2-zKδ fe)=∑c,e- cn=0,n=-1,-2,…,-∞ f()-Ec.(--3 令F-c6- Fz)在-z<6内解析 显然F(z)=f(z),z≠o lim f(z)=lim F()=F(zo)=co 2→2 0可去奇点 令f(z)=c fa)=∑c(2-2),lz-2okd z)在-z<δ内解析 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数
lexu@mail.xidian.edu.cn lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 8 可去奇点 可去奇点 若洛朗级数中不含 z-z0 负幂项，则孤立奇点z0 称为函数 f (z) 的可去奇点 0 () ( )n n n f z cz z 0, 1, 2, , n c n 0 0 () ( )n n n f z cz z 0< |z-z0|<δ 0 0 () ( )n n n F z cz z 令 F(z) 在 |z-z0|<δ内解析 0 显然F( ) ( ), z fz z z 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) zz zz f z Fz Fz c 0 0 令f ( ) z c 0 0 0 ( ) ( ) ,| | n n n fz c z z z z f(z) 在 |z-z0|<δ内解析 z0可去奇点
可去奇点 冬例1验证=0是 可去奇点，并讨论函数在 可去奇点处的性质 [解]显然，函数仅在z=0处不解析，在除去此点的 复平面上解析，因此，=0是函数的孤立奇点 求解函数的洛朗级数可得： +1 511 51 ·洛朗展开无负幂项，即该点为函数的可去奇点 ·显然，若令函数在z=0处的值为1，则函数在z=0处解析 C0=1 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数
lexu@mail.xidian.edu.cn lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 9 可去奇点 例1 验证 z=0是 可去奇点，并讨论函数在 可去奇点处的性质 [解] 显然，函数仅在z=0处不解析，在除去此点的 复平面上解析，因此， z=0是函数的孤立奇点 求解函数的洛朗级数可得： 洛朗展开无负幂项，即该点为函数的可去奇点 显然，若令函数在z=0处的值为1，则函数在z=0处解析 sin z z sin 1 1 1 1 1 35 24 ( )1 3! 5! 3! 5! z zz z z z z z c0=1
极点 冬极点 ·若洛朗级数的z-z,负幂项仅有有限个，且最高 负幂项为(z-乙)m，则孤立奇点z称为函数 fa)的m级极点，即 fa)=c(-)”+∑c,(e-广，m≥l,c.0 D具有m级极点的函数也可写成如下形式： fe)= 1 g(e)在-z<δ内解析 (8() 8(20)0 8(2)=C-m+C-m1(2-20)+C-m+2(2-)2…+… lexy@mail.xidian.edu.cn 复变函数
lexu@mail.xidian.edu.cn lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 10 极点 极点 若洛朗级数的 z-z0 负幂项仅有有限个，且最高 负幂项为 ( z - z0 )m ，则孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的m级极点，即 具有m级极点的函数也可写成如下形式： 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) , 1, 0 m n n nn m n n fz c z z c z z m c 0 1 () () ( )m f z g z z z 2 10 20 () ( ) ( ) mm m gz c c z z c z z g(z) 在 |z-z0|<δ内解析 g(z0) ≠0