s4闭区间上的连续函数 有界性定理 定理3.4.1若函数f(x)在闭区间[a,b上连续,则它在[a,b上有 界。 证用反证法。 若(x)在ab上无界,将6等分为两个小区间aa+2与 a+,b1,则()至少在其中之一上无界,把它记为[a小 2 再将闭区间[与等分为两个小区间a,44与4+b,b, 同样f(x)至少在其中之一上无界,把它记为[a2,b2];
§4 闭区间上的连续函数 有界性定理 定理3.4.1 若函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有 界。 证 用反证法。 若 f (x) 在[a,b]上无界，将[a,b]等分为两个小区间 + 2 , a b a 与 + b a b , 2 ，则 f (x) 至少在其中之一上无界，把它记为a b 1 1 , ； 再将闭区间a b 1 1 , 与等分为两个小区间 + 2 , 1 1 1 a b a 与 + 1 1 1 , 2 b a b ， 同样 f (x) 至少在其中之一上无界，把它记为[ a2 ,b2 ]； ……
这样的步骤一直做下去,便得到一个闭区间套{an,bn},f(x)在 其中任何一个闭区间[an,bn]上都是无界的。 根据闭区间套定理,存在唯一的实数属于所有的闭区间[an,bn], 并且 E= lim a=limb。 n→① 因为ξ∈[ab],而f(x)在点连续,所以存在δ>0,M>0,对于一切 x∈O,δ)∩[ab],成立 f(x)≤M。 由于iman= lim b=5,又可知道对于充分大的n, n→ [an,b]cO(5,δ)∩[a,b], 于是得到f(x)在这些闭区间[an,bn](n充分大)上有界的结论,从而产生 矛盾。 证毕
这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{[ , ] n n a b }， f (x) 在 其中任何一个闭区间[ , ] n n a b 上都是无界的。 根据闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间[ , ] n n a b ， 并且 = lim n→ an =lim n→ bn 。 因为 [a,b]，而 f (x) 在点 连续，所以存在 0，M 0，对于一切 xO(, )∩[a,b]，成立 f x M ( ) 。 由于lim n→ an =lim n→ bn = ，又可知道对于充分大的n， [ , ] n n a b O(, )∩[a,b]， 于是得到 f (x) 在这些闭区间[ , ] n n a b (n充分大)上有界的结论，从而产生 矛盾。 证毕
开区间上的连续函数不一定是有界的。 例如f(x)=-在开区间(0,1)上连续,但显然是无界的
开区间上的连续函数不一定是有界的。 例如 1 f x( ) x = 在开区间(0,1)上连续，但显然是无界的
最值定理 定理3.4.2若函数f(x)在闭区间[a,b上连续,则它在[a,b上必 能取到最大值与最小值,即存在ξ和n∈ab],对于一切x∈[a,b成立 f(95)≤f(x)≤f(n)o 证集合R={f(x)|x∈[ab]}是有界数集,所以必有上确界与下 确界,记 a=inf R,, B=sup r 由于对任意给定的E>0,存在x∈ab,使得f(x)<a+E。于是取 En=(n=1.2,3…)相应地得到数列{xn},xn∈{a,b],满足 a≤f(xn)<a+-
最值定理 定理3.4.2 若函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必 能取到最大值与最小值，即存在 和 [ , ] a b ，对于一切 x a b [ , ]成立 f f x ( ) ( ) f ( ) 。 证 集合 Rf = { f x x a b ( ) | [ , ] }是有界数集，所以必有上确界与下 确界，记 inf = Rf ， sup = Rf 。 由于对任意给定的 0，存在 x a b [ , ]，使得 f x( ) + 。于是取 n = 1 n （n = 1,2,3, ）相应地得到数列{ x n }， x n [a,b]，满足 ( ) n f x 1 n +
因为{xn}是有界数列,应用 bolzano- Weierstrass i定理,存在收敛子列 imxn=5,且ξ∈[a,b]。 考虑不等式 a≤f(xn)<a+-,k=1,2,3,…, 令k→∞,由极限的夹逼性与f(x)在点E的连续性,得到 ∫(5)=a 这说明f(x)在[a,b上取到最小值a,即a=minR, 同样可以证明存在n∈abl,使得f(m)=B=maxR 证毕
因为{ x n }是有界数列，应用Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列 { xnk }： lim k→ xnk = ，且 [a,b]。 考虑不等式 ( ) k n f x + 1 nk ， k = 1,2,3，…， 令k→∞，由极限的夹逼性与 f (x) 在点 的连续性，得到 f ( ) = 。 这说明 f (x) 在[a,b]上取到最小值 ，即 min = Rf 。 同样可以证明存在 [ , ] a b ，使得 f () = = max Rf 。 证毕