第三章函数极限与连续函数 §1函数极限 函数极限的定义 在半径为r的圆上任取一小段圆弧,记它所对的圆心角的弧度为 2x,则圆弧长度为2x,而圆弧所对的弦的长度为2sinx,弦长与弧长 之比值y是x的函数,其关系式为y SInx x
第三章 函数极限与连续函数 §1 函数极限 函数极限的定义 在半径为r 的圆上任取一小段圆弧，记它所对的圆心角的弧度为 2x，则圆弧长度为2xr,而圆弧所对的弦的长度为2 sin r x，弦长与弧长 之比值 y是 x 的函数，其关系式为 y x x = sin
猜想:当x趋于0时,y=x趋于1。 DX 以后将对这一极限给出严格证明,并记为imsx=1。 注意:在x趋于0的过程中,不取x=0(事实上,当x=0时,函数 sInx 没有定义)。我们关心的是在x趋于0的过程中,函数y SIn x 的 变化趋势,而不关心函数在x=0处是否有定义,如果有定义的话函数 值为多少
猜想：当 x 趋于0时， y x x = sin 趋于1。 以后将对这一极限给出严格证明，并记为lim x→0 sin x x = 1。 注意：在 x 趋于0的过程中，不取 x = 0（事实上，当x = 0时，函数 sin x x 没有定义）。我们关心的是在 x 趋于0的过程中，函数 y x x = sin 的 变化趋势，而不关心函数在 x = 0处是否有定义，如果有定义的话函数 值为多少
定义3.1.1设函数y=f(x)在点x0的某个去心邻域中有定义, 即存在p>0,使 O(o P)Xo)CD 如果存在实数A,对于任意给定的E>0,可以找到δ>0,使得当 0<x-xkδ时,成立 If(x)Ae, 则称A是函数f(x)在点x的极限,记为 lim f(x)=A, x→x0 或 f(x)→A(x→x) 如果不存在具有上述性质的实数A,则称函数f(x)在点x0的极限不 存在
定义3.1.1 设函数 y = f (x)在点 x 0 的某个去心邻域中有定义， 即存在 ＞0,使 0 0 O x x ( , ) \{ } Df 。 如果存在实数 A，对于任意给定的 0，可以找到 0，使得当 0 0 | | − x x 时，成立 | ( ) | f x A − ， 则称 A是函数 f (x) 在点 x 0 的极限，记为 lim x→x0 f (x) = A, 或 f (x) → A ( x → x 0 )。 如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 f (x) 在点 x 0 的极限不 存在
定义3.1.1设函数y=f(x)在点x的某个去心邻域中有定义, 即存在p>0,使 如果存在实数A,对于任意给定的ε>0,可以找到δ>0,使得当 0<x-xkd时,成立 f(x)-A|< 则称A是函数f(x)在点x的极限,记为 lim f(x)=A, x→>x0 或 f(x)→A(x→x0) 如果不存在具有上述性质的实数A,则称函数f(x)在点x的极限不 存在 函数极限定义的符号表述: lim f(x)=A 8>0,38>0, Vx(0xx-xok8): If(x)-Aka x→
函数极限定义的符号表述： lim x→x0 f (x) = A 0， 0，x ( 0 0 | | − x x )：| ( ) | f x A − 。 定义3.1.1 设函数 y = f (x)在点 x 0 的某个去心邻域中有定义， 即存在 ＞0,使 0 0 O x x ( , ) \{ } Df 。 如果存在实数 A，对于任意给定的 0，可以找到 0，使得当 0 0 | | − x x 时，成立 | ( ) | f x A − ， 则称 A是函数 f (x) 在点 x 0 的极限，记为 lim x→x0 f (x) = A, 或 f (x) → A ( x → x 0 )。 如果不存在具有上述性质的实数 A，则称函数 f (x) 在点 x 0 的极限不 存在
例3.1.1证明lime=1 证E>0(不妨设0<E<1),要找δ>0,使得当0<x<δ时,成 立 <8 上式等价于 ln(1-E)<x<ln(1+), 取δ=min{m(1+a),-ln(-)>0,当x满足0<冈<时,成立 <8, 所以 li
例 3.1.1 证明 0 lime 1 x x→ = 。 证 0 (不妨设0 1 )，要找 0，使得当0 x 时，成 立 ｜e 1 x − ｜ 。 上式等价于 ln(1 ) − x ln(1 ) + ， 取 = min{ ln(1+ ) , ln(1 )} 0 − − ，当x 满足0 x 时，成立 ｜e 1 x − ｜ ， 所以 lim x→0 e 1 x =