§2连续函数 连续函数的定义 定义3.2.1设函数f(x)在点x0的某个邻域中有定义,并且成立 lim f(x)=f(xo) 则称函数f(x)在点x连续,而称x是函数f(x)的连续点 “函数f(x)在点x连续”的符号表述(或称“E-0”表述): VE>0,38>0, Vx(Ix-xok8): If(x)-f(xo)k8
§2 连续函数 连续函数的定义 定义3.2.1 设函数 f (x) 在点 x 0 的某个邻域中有定义，并且成立 lim x→x0 f (x) = f (x ) 0 ， 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续，而称 x 0 是函数 f (x) 的连续点。 “函数 f (x) 在点 x0 连续”的符号表述（或称“ − ”表述）： 0， 0， x ( 0 | | x x − ) ： 0 | ( ) ( ) | f x f x −
§2连续函数 连续函数的定义 定义3.2.1设函数f(x)在点x0的某个邻域中有定义,并且成立 lim f(x)=f(xo) 则称函数f(x)在点x连续,而称x是函数f(x)的连续点 “函数f(x)在点x连续”的符号表述(或称“E-0”表述): VE>0,38>0, Vx(Ix-xok8): If(x)-f(xo)k8 定义3.2.2若函数f(x)在区间(a,b)的每一点都连续,则称函数 f(x)在开区间(a,b)上连续
§2 连续函数 定义3.2.2 若函数 f (x) 在区间(a,b)的每一点都连续，则称函数 f (x) 在开区间(a,b)上连续。 连续函数的定义 定义3.2.1 设函数 f (x) 在点 x 0 的某个邻域中有定义，并且成立 lim x→x0 f (x) = f (x ) 0 ， 则称函数 f (x) 在点 x 0 连续，而称 x 0 是函数 f (x) 的连续点。 “函数 f (x) 在点 x0 连续”的符号表述（或称“ − ”表述）： 0， 0， x ( 0 | | x x − ) ： 0 | ( ) ( ) | f x f x −
例3.2.1函数f(x)=在区间(0,1)上连续。 证设x是(0,1)中任意一点。对于任意给定的E>0,要找δ>0, 使得当|x-x0k<δ时,有 X-x <E。 10 XX 为了放大左边不等式,加上条件|x-xk,于是x>,从而 2 2 Xxo> 2 取δ -mini o xa},当x-xδ时 x < 所以f()=在(O,1)上连续。 x 证毕
例3.2.1 函数 f x( ) = 1 x 在区间(0, 1)上连续。 证 设 x 0 是(0, 1)中任意一点。对于任意给定的 0，要找 0， 使得当 0 | | x x − 时，有 0 1 1 x x − = 0 0 xx x − x 。 为了放大左边不等式，加上条件 | x x | x − 0 0 2 ，于是 x x 0 2 ，从而 xx x 0 0 2 2 。 取 = min 2 , 2 2 0 0 x x ，当|x − x0 | 时， 0 1 1 x x − = 0 0 xx x − x 0 2 0 2 | | x x x − ， 所以 f (x) = 1 x 在(0, 1) 上连续。 证毕
为了讨论函数在闭区间上的连续性,需要单侧连续的概念: 定义3.2.3 若imf(x)=f(x),则称函数f(x)在x左连续; x→x0 若inf(x)=f(x),则称函数f(x)在x右连续。 x→xa imf(x)=f(x)可表述为:E>0,3δ>0,yx(-8<x-x≤0) x→)x0 If(x)-f(ro)k<e imf(x)=f(x0)可表述为:E>0,3δ>0,Vx(0≤x-xn<δ): f(x)-f(coke
为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念： 定义3.2.3 若 lim x→x0 − f (x) = f (x ) 0 ，则称函数 f (x) 在 x 0 左连续； 若 lim x→x0 + f (x) = f (x ) 0 ，则称函数 f (x) 在 x 0 右连续。 lim x→x0 − f (x) = f (x ) 0 可表述为： 0， 0， x（ 0 − − x x 0）： 0 | ( ) ( ) | f x f x − ； lim x→x0 + f (x) = f (x ) 0 可表述为： 0， 0， x（ 0 0 − x x ）： 0 | ( ) ( ) | f x f x −
为了讨论函数在闭区间上的连续性,需要单侧连续的概念: 定义3.2.3 若imf(x)=f(x),则称函数f(x)在x左连续; x→x0 若inf(x)=f(x),则称函数f(x)在x右连续 x→xa imf(x)=f(x)可表述为:E>0,3δ>0,yx(-8<x-x≤0) x→)x0 If(x)-f(ro)k<e imf(x)=f(x0)可表述为:E>0,3δ>0,Vx(0≤x-xn<δ): f(x)-f(coke 定义3.2.4若f(x)在(a,b)连续,且在左端点a右连续,在右端点 b左连续,则称函数f(x)在闭区间ab上连续
定义3.2.4 若 f (x) 在(a,b)连续，且在左端点a右连续，在右端点 b左连续，则称函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续。 为了讨论函数在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概念： 定义3.2.3 若 lim x→x0 − f (x) = f (x ) 0 ，则称函数 f (x) 在 x 0 左连续； 若 lim x→x0 + f (x) = f (x ) 0 ，则称函数 f (x) 在 x 0 右连续。 lim x→x0 − f (x) = f (x ) 0 可表述为： 0， 0， x（ 0 − − x x 0）： 0 | ( ) ( ) | f x f x − ； lim x→x0 + f (x) = f (x ) 0 可表述为： 0， 0， x（ 0 0 − x x ）： 0 | ( ) ( ) | f x f x −