第四节 阶线性微分方程
第四节 一阶线性微分方程
、线性方程 阶线性微分方程的标准形式 dh <t+P(x)y=o(x)g 当Q(x)=0,上方程称为齐次的 当Q(x)主0,上方程称为非齐次的 例如 d r+r 一血 = saint+t2,线性的 yy2-2xy=3,y-cosy=1,非线性的
P(x) y Q(x) dx dy + = 一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 一、线性方程 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的
阶线性微分方程的解法 y 步骤1先解线性齐次方程xP(x)y=0 (使用分离变量法) y -P(x)dx y P(x)dx, Iny=- P(x)dx+InC, 齐次方程的通解为y= Ce Ply
+ P(x) y = 0. dx dy P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce 步骤1 先解线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法)
步骤2讨论线性非齐次方程的解与线性齐次方程的 解之间的关系: 4+P(x)y=Q(x)-)小_「Q(x) y P(x)dx. 两边积分co、S-JPe(x)d, 设/(x 为(x,:lmy=x)-P(x) 即 (x)。-「P(x)ax p(xdx y=e'e =(x)e 因此,非齐次方程通解形式与齐次方程通解 J=C。P(相比,就是将:C→(x)
步骤2 讨论线性非齐次方程的解与线性齐次方程的 解之间的关系： P(x) y Q(x). dx dy + = ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 因此，非齐次方程通解形式与齐次方程通解 相比，就是将：C u(x) = − p x dx u x e ( ) ( ) . ( ) = − P x dx y Ce →
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称 常数变易 现在是将齐次方程的通解y=CeJ 变易成y=(x)e P(x)dx 步骤3求y,并将yy代入线性非齐次方程 P(x)du P(x)dx y'=u(xe +u(x)l-p(xle
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称 常数变易法. = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x d x − P x d x y u x e u x P x e . ( ) = − P x dx 现在是将齐次方程的通解 y Ce 变易成 步骤3 求 y , 并将 y, y 代入线性非齐次方程