第二节 可分离变量的微分方程
第二节 可分离变量的微分方程
、可分离变量的微分方程 形如8(y)=f(x)dt 的方程称为可分离变量的微分方程 例如 d=2xy5→y5=2x2d, d 解法:设函数g(y)和f(x)是连续的, dy=ff(r)dx 分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G()) 为微分方程的解
一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 的方程称为可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解. 分离变量法 形如 解法：
二、典型例题 dh 例1求解微分方程 2xy的通解 解分离变量=2xx, 小y 两端积分 rdx Iny=x+CI Cex为所求通解
例1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2 y = Ce x 为所求通解 二、典型例题
例2:求解微分方程 小y x-y rt y t cOS COS dx 2 2 解;收 x-y +cos - cOS x+y=0 dx 2 2 cosa-cos B=-2sin a+B. a- sIn y 2 2 x.y Isin sin=0 SIn dx 22 2sin 2 2 两边积分,得解:y cot =2cos +C, 2 2 2 Jcsc xdx=Inlc CSCx-ctgx+C
例2：求解微分方程 . 2 cos 2 cos x y x y dx dy + = − + 解： 0, 2 cos 2 cos = + − − + x y x y dx dy 0, 2 sin 2 + 2sin = x y dx dy , 2 sin 2 2sin = − dx x y dy 2 cot 2 lncsc y y − , 2 2cos C x = + 2 sin 2 cos cos 2sin + − − = − xdx = x − ctgx + c csc ln csc 两边积分，得解：
例3衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成 正比,已知M1=0=M02求衰变过程中铀含量M(r) 随时间t变化的规律 解衰变速度 dM d由题设条件 dM dM AM(>0衰变系数) =-入d ndt, In M=-t+InC, EpM=Ce 代入MA=0=M。得M0=Ce"=C, M=M oe n
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀含量M(t) 随时间t 变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM 代入M t=0 = M0 lnM = −t + lnC, , t M Ce− 即 = 0 得 M0 = Ce = C, t M M e − = 0 衰变规律