81多元函数的基本概念一、是非题1.当变点(x,Jy)以无穷多种方式趋向点(x,y)时，f(x,y)都趋向于A，则limf(x,J)=A.(Yy-→o1()2.函数2的间断点是(0,0)：x?+y?3.函数：=sin二的间断线是x=0及y=0.()xy1)4.函数u=l的间断点是（x,%,二）(V(x-xo)+(y-yo) +(z-z0)的间断面：x=m元和y=n元,(m,n=0,±1,±2,).5.函数u:()sinxsinyxy2+0，在点(0,0)不连续.x+y6. 函数 f(x,y)=()0,x+y =0,二、填空题1.一个顶点在原点，边长为a，而且一边在x轴上（x>0)的正三角形区域2.以O(0,0),A(1,0),B(1,2),C(0,1)为顶点的梯形闭域为3. 设f(x,y)=x+2y，则f(xy,f(x,y))=xy4.lim538/x +y2三、选择题1-x2-y 的定义域为(1.函数≥=arcsinOx? +y(B)圆域(A）空集(C）圆周(D）一个点2.xy2. 指出f(x,J)=与不相同的函数()x? +yX.x?- y?￥0(A)r+y?f(x+y,x-y)-(B) f(x+y,xx?+y?0,x2 +y2 =0u?-y22u2-2uv(C)f(u+v,u-v)(D) f(u,u-v)u? + y22u-2+yxy?3.lim)-(rj)-(0,0) x* + y3(D)不存在(A)存在且等于0.(B)存在且等于1.(C)存在且等于-14. 设(x,y)=In(x-y2-y)（其中x>y>0)，则f(x+y,x-y)=（)
§1 多元函数的基本概念 一、是非题 1．当变点(x, y) 以无穷多种方式趋向点 0 0 (x , y ) 时， f (x, y)都趋向于 A ，则 0 0 lim ( , ) x x y y f x y A Æ Æ = .( ) 2． 函数 2 2 1 z x y = + 的间断点是(0,0) ． ( ) 3． 函数 1 z sin xy = 的间断线是 x = 0 及 y = 0 ． ( ) 4．函数 2 2 2 0 0 0 1 ln ( ) ( ) ( ) u x x y y z z = - + - + - 的间断点是 0 0 0 (x , y ,z ) ． ( ) 5．函数 sin sin z u x y = 的间断面：x = mp 和 y = np,(m, n = 0,±1,± 2,L ) ． ( ) 6．函数 2 2 2 2 4 4 2 2 , 0, ( , ) 0, 0, x y x y f x y x y x y Ï Ô + ¹ = Ì + Ô Ó + = 在点(0,0) 不连续． ( ) 二、填空题 1．一个顶点在原点，边长为a ，而且一边在 x 轴上(x > 0) 的正三角形区域 ． 2．以O(0,0), A(1,0), B(1, 2),C (0,1) 为顶点的梯形闭域为 ． 3．设 f (x, y) = x + 2y ，则 f (xy, f (x, y)) = ． 4． 0 2 2 0 lim x y xy x y Æ Æ = + ． 三、选择题 1．函数 2 2 2 2 1 z arcsin 1 x y x y = + - - + 的定义域为( ) (A) 空集 (B)圆域 (C ) 圆周 (D) 一个点 2．指出 2 2 2 ( , ) xy f x y x y = + 与不相同的函数( ) (A) 2 2 1 2 2 ( , ) x y f x y x y x y - + - = + (B) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 x y x y f x y x y x y x y - Ï + ¹ + - = Ì + Ó + = (C) 2 2 3 2 2 ( , ) u v f u v u v u v - + - = + (D) 2 4 2 2 2 2 ( , ) 2 2 u uv f u u v u uv v - - = - + 3． 2 3 3 ( , ) (0,0) lim x y xy Æ x + y =( ) (A)存在且等于 0．(B)存在且等于 1．(C ) 存在且等于-1 (D) 不存在． 4．设 2 2 f (x, y) = ln(x - x - y ) （其中 x > y > 0 ），则 f (x + y, x - y) = （ ）
(A) 2In(Vx-) :(B) In(x-y); (C)-(lnx-lny):(D) 2ln(x-y)5.下列结论中错误的是(B1xyxy(B) lim=lim=0(A) lim-=0aox+y538x+yyx(C) Jlim =-1.(D) lim兴不存在。,x+yjsox+y)6.函数f(x,y)=sin(x2+y)在点(0,0)处（(A)无定义；（B)无极限；(C)有极限，但不连续；(D)连续7.函数==f(x,J)在点P(x0,%)间断，则（)(A)函数在点P处一定无定义；(B)函数在点P处极限一定不存在；(C)函数在点P处可能有定义，也可能有极限；(D)函数在点P处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值四、解答题1.求下列函数的定义域(1)== aresin(x-y°)+lnln(10-x -4y)x2 + y2 -1(2)u:4-x-V2(3)u=arccosx+y2.设fx-y，求f(x,y)，f(x-y,)x+Vx3.求下列函数的极限2(+y)2(2) limer+y(1) lim1sin(ex+y1-0y-xy,sinxy(3) lim(4) lim0X338 /xy+1-11-cos(x2 + y2)(5) lim8 (r +y)xy2xy(x,y)±(0,0)x+ y24.设f(x,y)=问limf(x,y)是否存在？300,(x, y)=(0,0)xsin(x-2y)x+2y的连续性.5.讨论函数f(x,y)=x-2y0,x=2y$2偏导数
(A) 2ln( x - y ) ；(B) ln(x - y) ；(C) 1 (ln ln ) 2 x - y ；(D) 2ln(x - y) . 5．下列结论中错误的是(B ) (A) 0 lim 0 x y kx xy Æ x y = = + (B) 0 0 0 0 1 lim lim 0 x x 1 1 y y xy x y y x Æ Æ Æ Æ = = + + (C) 20 lim 1 x y x x xy Æ x y = - = - + ． (D) 0 0 lim x y xy Æ x y Æ + 不存在． 6．函数 2 f (x, y) = sin(x + y) 在点(0,0) 处（ ） (A)无定义；(B)无极限；(C ) 有极限，但不连续；(D) 连续. 7．函数 z = f (x, y) 在点 0 0 0 P (x , y ) 间断，则（ ） (A)函数在点 P0 处一定无定义； (B)函数在点 P0 处极限一定不存在； (C ) 函数在点 P0 处可能有定义，也可能有极限； (D) 函数在点 P0 处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值. 四、解答题 1．求下列函数的定义域 (1) 2 2 2 z = arcsin(x - y ) + ln ln(10 - x - 4 y ) (2) 2 2 2 2 1 4 x y u x y + - = - - (3) 2 2 arccos z u x y = + 2．设 2 2 , y f x y x y x Ê ˆ Á + ˜ = - Ë ¯ ，求 f (x, y)， f (x - y, xy) ． 3．求下列函数的极限 (1) 2 2 2( ) 2 2 2 lim 1 x y x y x y + Æ• Æ• Ê ˆ Á - ˜ Ë + ¯ (2) 2 2 2 2 1 1 0 0 lim sin( ) x y x y x y e e - + + Æ Æ ． (3) 0 0 sin lim x y xy Æ x Æ (4) 0 0 lim 1 1 x y xy xy Æ Æ + - (5) 2 2 2 2 2 2 0 0 1 cos( ) lim ( ) x y x y Æ x y x y Æ - + + 4．设 4 2 , ( , ) (0,0) ( , ) 0 , ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y Ï Ô ¹ = Ì + Ô Ó = ，问 0 0 lim ( , ) x y f x y Æ Æ 是否存在？ 5．讨论函数 sin( 2 ) , 2 ( , ) 2 0 , 2 x x y x y f x y x y x y Ï - Ô ¹ = Ì - Ô Ó = 的连续性． §2 偏导数
一、是非题)(1.f(xo,%)表示曲面被平面x=x所截得到的曲线在点(xo,%)处的切线对y轴的斜率。()2.若函数z=f(x,y)的各偏导数在某点都存在，则z=f(x,y)在该点不一定连续3.若函数==(s,)在点(%,%)可微，则在该点%与%不一定存在。C)axa4.若二元函数：=(x,J)在区域D内存在二阶偏导数，则%()()= f(x,y) .ay(ax()5.二阶混合偏导数与求导顺序无关。二、填空题1.设函数f(x,y)在P(xo,J)的某邻域内有定义，如果当点P沿着平行于x轴的方向移动到点P(x+Ax,y)时，则关于x的偏增量为2.二阶混合偏导数在下与求导次序无关3．函数f(x,J)在点(xo,y)处可微的条件是f(x,y)在点(x,%)处的偏导数存在。4.函数f(x,J)在点(xo,%)可微是f(x,J)在点(xo,%)处连续的条件.5.设z=x,则=(0,0)==6. 设z=ysin(xy)+(1-y)arctanx+e-2y,则=(1,0)=三、选择题1.指出偏导数的正确表达（）(4) (a,b)= Jim (a+h,b+k)-(a,b)(B) f(0,0)=lim (x, 0)&+Vh? +k?xf(0, y+Ay)-f(0, )(D) f,(x,0)=lim (x,y)-(x,0)(C) J,(0, y)= lim Ay(AyAx2．二元函数xy,(x,y)±(0,0)x?+y?f(x,y)=0,(x, y)= (0,0)力在点(0,0)处(（A）连续，偏导数存在：(B)连续，偏导数不存在；(C)不连续，偏导数存在；(D)不连续，偏导数不存在.sin(xy)xy0)3. 设f(x,y)则J(0,1)=（xy,xy=0[x(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在4. 设z= f(x, y), f(x,y)=2,且 f(x, 0)=1, f,(x, 0)=x则 f(x, J)为 ().(A) 1- xy+x ;(B) 1+xy+y?;(C)1-xy+y2;(D)1+xy+y?四、解答题1.设f(x,J)=x-lp(x,J)，其中p(x,y)在点(0,0)，邻域内连续，间(1)p(x,y)在什么条件下，偏导数f(0,0)，J;(0,0)存在；(2)p(x,J)在什么条件下，于(x,y)在(0,0)处可微
一、是非题 1． 0 0 ( , ) x f x y 表示曲面被平面 0 x = x 所截得到的曲线在点 0 0 (x , y ) 处的切线对 y 轴的斜率． （ ） 2．若函数 z = f (x, y) 的各偏导数在某点都存在，则 z = f (x, y) 在该点不一定连续． （ ） 3．若函数 z = f (x, y) 在点 0 0 (x , y ) 可微，则在该点 f f x ¶ ¶ ¶ ¶ 与 不一定存在． （ ） 4．若二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 内存在二阶偏导数，则 ( , ) xy z f x y y x ¶ Ê ¶ ˆ Á ˜ = ¶ Ë ¶ ¯ ． （ ） 5．二阶混合偏导数与求导顺序无关． （ ） 二、填空题 1．设函数 f (x, y) 在 0 0 0 P (x , y ) 的某邻域内有定义，如果当点 P0 沿着平行于 x 轴的方向移动到点 1 0 0 P(x + D x, y ) 时，则关于 x 的偏增量为 ． 2．二阶混合偏导数在 下与求导次序无关． 3．函数 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 处可微的 条件是 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 处的偏导数存在． 4．函数 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 可微是 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 处连续的 条件． 5．设 z = xy , 则 (0,0) x z = = ． 6．设 2 sin( ) (1 ) arctan y z y xy y x e - = + - + ,则 (1,0) x z = ． 三、选择题 1．指出偏导数的正确表达( ) (A) , 0 2 2 ( , ) ( , ) x ( , ) lim h k f a h b k f a b f a b h k Æ + + - = + (B) 0 ( ,0) x (0,0) lim x f x f Æ x = (C) 0 (0, ) (0, ) y (0, ) lim y f y y f y f y D Æ y + D - = D (D) 0 ( , ) ( ,0) x ( ,0) lim x f x y f x f x Æ x - = 2．二元函数 2 2 ,( , ) (0,0) ( , ) 0 , ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y Ï Ô ¹ = Ì + Ô Ó = 在点(0,0) 处( )： (A ) 连续，偏导数存在； (B ) 连续，偏导数不存在； (C)不连续，偏导数存在； (D ) 不连续，偏导数不存在． 3．设 2 sin( ) , 0 ( , ) , 0 x y xy f x y xy x xy Ï Ô ¹ = Ì Ô Ó = ，则 (0,1) x f = （ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D ) 不存在 4．设 ( , ), ( , ) 2 yy z = f x y f x y = ，且 ( , 0) 1, ( , 0) y f x = f x = x 则 f (x, y) 为（ ）． (A) 2 1- xy + x ； (B) 2 1+ xy + y ； (C) 2 2 1- x y + y ； (D) 2 2 1+ x y + y ． 四、解答题 1．设 f (x, y) =| x - y |j(x, y)，其中j(x, y) 在点(0,0) ，邻域内连续，问(1) j(x, y) 在什么条件下， 偏导数 (0,0) x f ¢ ， (0,0) y f ¢ 存在；(2)j(x, y) 在什么条件下， f (x, y)在(0,0) 处可微．
2.求下列各函数的偏导数：(1)≥= arctg≥(3)u= e)?(2)z = /ln(xy)A3.求下列函数的二阶偏导数：x+y(1) z= sin'(ax+ by) ;(2)==arctg(3)==ye2*+xsin2y.1=xyx?+ y?4.曲线，在点(2.4.5)处的切线对于x轴的倾角是多少？4(y=45.求下列函数的偏导数(1) z= /In(x) +ln /x2 +y(2) z= sin(xy)+cos'()(3) : =ln tan =(4) z=(1+xy)y$3全微分一、是非题1.全增量是指多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，()2.设f(x,y)=x,则dy=Ay+o(p)，其中p=(Ax)"+(Ay)()3.如果函数==f(x,Jy)在点(x,y)可微，则f(x,y)在点(x,y)的偏导数存在.()()4.偏导数存在是多元函数可微的充分必要条件.()5.如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)连续，则f(x,y)在点(x,y)处可微.二、填空题1.函数≥=在点(1,2)处，当Ax=0.1，Ay=0.2的全增量为z=*2.函数≥=x2+y2在点(1,2)处，当Ax=0.1，Ay=-0.2的全微分为dz=3.函数z=ln(2+x2+y）在点(1,2)的全微分为dz=4.利用全微分可得/(2.98)+（4.01)5.已知+)+地为某函数的全微分，则a=(x+y)三、选择题1．设f(x,y)是一二元函数，（so,y）是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是((A)若f(x,J)在点(x,%)连续，则f(x,y)在点(x,%)可导(B)若f(x,y)在点(x,J)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x,y%)连续.(C)若f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(xo,yo)可微(D)若f(x,y)在点(x,y)可微，则f(x,y)在点(xo,%)连续).2.二元函数z=f(x,J)在(xo%）处满足关系（(A)可微可导=连续
2.求下列各函数的偏导数： (1) y z arctg x = (2) z = ln(xy) (3) 2 3 xy z u = e 3．求下列函数的二阶偏导数： （1） 2 z = sin (ax + by) ； （2） 1 x y z arctg xy + = = ； （3） 2 sin 2 x z = ye + x y ． 4．曲线 2 2 4 4 x y z y Ï + Ô = Ì Ô Ó = ，在点(2,4,5)处的切线对于 x 轴的倾角是多少？ 5．求下列函数的偏导数 （1） z = ln(xy) 2 2 +ln x + y （2） 2 z = sin(xy) + cos (xy) （3） ln tan x z y = （4） (1 ) y z = + xy §3 全微分 一、是非题 1．全增量是指多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量． ( ) 2．设 f (x, y) = x ,则 dy = Dy + o(r) ，其中 2 2 r = (Dx) + (Dy) ． ( ) 3．如果函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微，则 f (x, y)在点(x, y) 的偏导数存在． ( ) 4．偏导数存在是多元函数可微的充分必要条件． ( ) 5．如果函数 z = f (x, y) 的偏导数在点(x, y) 连续，则 f (x, y)在点(x, y) 处可微． ( ) 二、填空题 1．函数 2 2 xy z x y = - 在点(1,2) 处，当Dx = 0.1， Dy = 0.2 的全增量为Dz = ． 2．函数 2 2 z = x + y 在点(1,2) 处，当Dx = 0.1， Dy = - 0.2的全微分为dz = ． 3．函数 2 2 z = ln(2 + x + y ) 在点(1,2)的全微分为dz = ． 4．利用全微分可得 2 2 (2.98) + (4.01) ª ． 5．已知 2 ( ) ( ) x ay dx ydy x y + + + 为某函数的全微分，则a = ． 三、选择题 1．设 f (x, y)是一二元函数， 0 0 (x , y ) 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A ) 若 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 连续，则 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 可导． (B ) 若 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 的两个偏导数都存在，则 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 连续． (C)若 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 的两个偏导数都存在，则 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 可微． (D ) 若 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 可微，则 f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 连续． 2．二元函数 z = f (x, y) 在 0 0 (x , y ) 处满足关系（ ）． (A ) 可微 ¤ 可导fi 连续
(B)可微=可导=连续(C)可微=可导，或可微=连续，但可导不一定连续(D)可导二连续，但可导不一定可微)3. 若f(xo,)=f,(xo,yo)=0，则f(x,y)在(x,yo)是（(A)连续但不可微(B)连续但不一定可微(C)微但不一定连续（D)不一定可微也不一定连续3xy(x,y)+(0,0)，则在原点处（)4. 设f(x,y)=x+y20(x,y)=(0,0)(A)偏导数不存在，也不连续(B)偏导数存在但不连续(C)偏导数存在且可微(D)偏导数不存在也不可微5.下列条件中（）成立时，f(x,y)在(x,yo)点必有全微分df=0(A)在点(x,)两个偏导数f=0,f,=0AxAy(B)f(x,J)在点(x,y)的全增量AfAxr? + Ay2(C)(x,)在点(%,)的全增量f,=sin(Ar+)JAr? + Ay?1(D)f(x,y)在点(x,y)的全增量Af,=(Ar +Ay)sinAr?+Ay四、解答题1.求下列各函数的全微分：(1) z=/x?+y2 :(3)u=arcsin=(2)z=e"cosy;A(4) u= n(x +y? +2):(5) u=(xy)2．求下列函数的全微分：(1)u=f(r),r=x+y2[提示：du=f(r)dr=f(r)(rdx+rdy)];(2) u=(p(xy)+y(一)3.设==n+tcosu，u=e，=lnt，求全导数坐dt来du4.设u=e(y-=)，x=t，y=sint，z=cost,dt5.设x+e=，求当dx6.设=yer+cosy，求全微分d.7设=xyf(x+y,x-y)，f可微，求d.8.设z=f(rcose,rsinの)可微，求全微分dz：S4多元复合函数的求导法则
(B ) 可微fi 可导fi 连续 (C)可微fi 可导，或可微fi 连续，但可导不一定连续 (D ) 可导fi 连续，但可导不一定可微 3．若 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y = f x y = ，则 f (x, y)在 0 0 (x , y ) 是（ ） (A ) 连续但不可微 (B ) 连续但不一定可微 (C)微但不一定连续 (D ) 不一定可微也不一定连续 4．设 2 2 3 ,( , ) (0,0) ( , ) , 0 ,( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y Ï Ô ¹ = Ì + Ô Ó = 则在原点处（ ） (A)偏导数不存在，也不连续 (B)偏导数存在但不连续 (C ) 偏导数存在且可微 (D) 偏导数不存在也不可微 5．下列条件中 ( ) 成立时, f (x, y)在 0 0 (x , y ) 点必有全微分df = 0 (A)在点 0 0 (x , y ) 两个偏导数 0, 0 x y f = f = (B) f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 的全增量 1 2 2 x y f x y D D D = D + D , (C) f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 的全增量 2 2 2 2 2 sin( x y ) f x y D + D D = D + D (D) f (x, y)在点 0 0 (x , y ) 的全增量 2 2 3 2 2 1 f ( x y )sin x y D = D + D D + D 四、解答题 1．求下列各函数的全微分： （1） 2 2 z = x + y ； （2） cos x z = e y ； （3） arcsin s u t = ； （4） 2 2 2 u = ln(x + y + z ) ； （5） ( ) z u = xy . 2．求下列函数的全微分： （1） 2 2 u = f (r),r = x + y [提示： ( ) ( )( ) x g du = f ¢ r dr = f ¢ r r dx + r dy ]； （2） ( ) ( ) x u xy y = j +y . 3．设 2 z = uv + t cos u ， t u = e ，v = ln t ，求全导数 dz dt ． 4．设 ( ) x u = e y - z ， x = t ， y = sint ， z = cost ，求 du dt ． 5．设 y x xy + e = e ，求 dy dx ． 6．设 2 cos x z = ye + y ，求全微分dz ． 7．设 2 2 2 2 z = xyf (x + y , x - y ) ， f 可微，求dz ． 8．设 z = f (r cosq,rsinq) 可微，求全微分dz ． §4 多元复合函数的求导法则