S1定积分的概念与性质一、是非题1.定积分的值与积分变量因素有关，2．闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现一个有限的间断点，既不破坏可积性，也不影响积分值3.定积分的定义为f(x)dx=lim之f(5)Ax,，随然要求当=maxAx→0时，Zf(5)Ar,的极限存在且有限，但极限值仍是任意的.()4.若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)]在[a,b]上也可积()5. 'xa>J'rd.(6. 若在[a,b]上f(x)>0则[f(x)dx≤0 .()二、填空题条件1．被积函数在积分区间有界是可积的条件.2.被积函数在积分区间连续是可积的3.在区间[a,b)上f(x)≤0时，定积分[f(x)dx在几何上表示由直线x=a、x=b、x轴及曲线y=f(x)所围成曲边梯形面积的4.定积分[xdx表示由直线x=a、x=b、x轴及直线y=x所围成的的面积.5. 设f(x)在[a,b]上连续，f(x)≥0,xe[a,b]，且[ f(x)dx=0，则f(x)06. 当a<b时，有『,f(x)dx=7. J'kdx =（k为常数）.8.设f(x)在[a,b)上可导，且J"(x)≤M，f(a)=0，则[f(x)dx≤三、选择题1.积分中值定理"f(x)dx=f(5)(b-a)，其中（).(A）是[a,b]内任一点；(B)是[a,b]内必定存在的某一点;(C)=是[a,b]内唯一的某一点；(D)=是[a,b]的中点.2.下列四组表达式中正确的是（）.(A) ['(x +1)dx≤'(x +1)dx(B) J'in xdx ≤ J'(In x) dx(C) f'edx ≥ f'+x)dx(D) Jxdx≤f'in(1+ x)dx四、解答题1.试将下图中各曲边梯形的面积用定积分来表示：
§1 定积分的概念与性质 一、是非题 1． 定积分的值与积分变量因素有关． ( ) 2．闭区间上的连续函数当然是可积的．假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现 一个有 限的间断点，既不破坏可积性，也不影响积分值． ( ) 3．定积分的定义为 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i f x dx f x l x Æ = =  D Ú ，随然要求当 max 0 i i l = Dx Æ 时， ( ) i i i  f x D x 的极限存 在且有限， 但极限值仍是任意的． ( ) 4．若 f (x) 在[a,b ]上可积，则| f (x) |在[a,b ]上也可积． ( ) 5． 2 2 1 x dx > Ú 2 3 1 x dx Ú ． ( ) 6． 若在[a,b ]上 f (x) > 0则 ( ) b a f x dx £ 0 Ú ． ( ) 二、填空题 1．被积函数在积分区间有界是可积的 条件． 2．被积函数在积分区间连续是可积的 条件． 3．在区间[a,b ]上 f (x) £ 0 时，定积分 ( ) b a f x dx Ú 在几何上表示由直线 x = a 、 x = b 、 x 轴及曲线 y = f (x) 所围成曲边梯形面积的 ． 4．定积分 b a xdx Ú 表示由直线 x = a 、 x = b 、 x 轴及直线 y = x 所围成的 的面积． 5．设 f (x) 在[a,b ]上连续， f (x) ³ 0, x Œ [a,b]，且 ( ) 0 b a f x dx = Ú ，则 f (x) 0． 6．当a < b 时，有 ( ) a b f x dx = Ú ． 7． b a kdx = Ú （k 为常数） ． 8．设 f (x) 在[a,b ]上可导，且 f ¢(x) £ M ， f (a) = 0，则 ( ) b a f x dx £ Ú ． 三、选择题 1．积分中值定理 ( ) ( )( ) b a f x dx = f x b - a Ú ，其中（ ）． (A) x 是[a,b ]内任一点； (B) x 是[a,b ]内必定存在的某一点； (C) x 是[a,b ]内唯一的某一点； (D) x 是[a,b ]的中点． 2．下列四组表达式中正确的是（ ） ． (A) 1 1 2 3 0 0 (x +1)dx £ (x +1)dx Ú Ú (B) 1 ln e xdx Ú £ 2 1 (ln ) e x dx Ú (C) 1 0 x e dx Ú ³ 1 0 (1+ x)dx Ú (D) 1 1 0 0 xdx £ ln(1+ x)dx Ú Ú 四、解答题 1．试将下图中各曲边梯形的面积用定积分来表示：
1(a)(b)(c)2．估计下列各积分的值：11((x2 -3x+ 2)dx ;1(3）(4)dx:5+3cosx0J2x2-x+1五、证明题1.证明下列不等式成立V2V2(1+x)dt V2e d2 (2)号](-sinx[Ji+sin'xdx元; (3)22.函数f(x)和g(x)均在[a,b]上连续，证明Cauchy不等式[f" f(x)g(x)dxP ≤ " f"(x)dx Jn g*(x)dxS2微积分基本公式一、是非题1.设,f(t)dt=a",则f(x)=a2*na.12. ['arctan xdx =0 .(dx3.设f(x)有连续的导数，F(b)=5,f(a)=3，则[f(x)dx=2(Jx[dx= 0 .A.()二、填空题1. 设f(x)在(-0,+o0)上有一阶导数，F(n)=Jxf(0)dt (x0)则F(x)=2. 设Φ(x)=[tanudu，则(x)=3. 设F(x)=J tcos idt，则F()=4.当b*0时，["lnxdx=1，则b=T'e'dx:5.6. [(2x2 -3x+ 4)dx =三、选择题1.设f(x)在[a,b)连续，9(x)=()dt，则（)
2．估计下列各积分的值： （1） 4 2 1 (x - 3x + 2)dx Ú ； （2） 2 sin 0 x e dx p Ú ； （3） 1 2 0 2 1 2 1 dx x - x + Ú ； （4） 2 2 0 1 5 3cos dx x p + Ú . 五、证明题 1．证明下列不等式成立 1 1 0 0 xdx £ ln(1+ x)dx Ú Ú 2 1 1 2 2 1 2 2 2 x e e dx - - - < < Ú ． （2） 2 2 0 2 1 sin 2 2 xdx p p < + < p Ú ； （3） 2 4 1 sin 2 2 2 x dx x p < p < Ú . 2. 函数 f (x) 和 g(x) 均在[a,b ]上连续，证明 Cauchy 不等式： 2 2 2 [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx £ f x dx × g x dx Ú Ú Ú . §2 微积分基本公式 一、是非题 1．设 2 ( ) x x a f t dt = a Ú ，则 2 ( ) ln x f x = a a ． ( ) 2． arctan b a d xdx dx = 0 Ú ． ( ) 3．设 f (x) 有连续的导数， f (b) = 5, f (a) = 3，则 ( ) 2 b a f ¢ x dx = Ú ． ( ) 4． 1 1 | x | dx - = 0 Ú ． ( ) 二、填空题 1．设 f (x) 在(-•,+• ) 上有一阶导数， 1 0 ( ) ( ) x F x = xf t dt Ú (x ¹ 0) 则 F¢¢(x) = _． 2．设 0 ( ) tan x F x = udu Ú ，则F¢(x) = ． 3．设 2 0 ( ) cos x F x = t tdt Ú ，则 ( ) 4 F p ¢ = ． 4．当b ¹ 0 时， 1 ln 1 b xdx = Ú ，则b = ． 5． 1 0 x e dx = Ú ． 6． 1 2 0 (2x - 3x + 4)dx = Ú ． 三、选择题 1．设 f (x) 在[a,b ]连续， ( ) ( ) x a φ x = f t dt Ú ，则（ ）．
(A)(x)是f(x)在[a,b)上的一个原函数；(B)f(x)是(x)的一个原函数(C)(x)是f(x)在[a,b]上唯一的原函数;(D)f(x)是(x)在[a,b]上唯一的原函数2.设f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数，则F(x)=f(t)dt是（).(B)偶函数；(A)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D）（A)、(B)、（C）都不对.3.f(x)为已知函数,1=jf(tx)d，其中s>0,t>0则1的值依赖于（）(A)依赖于s和t(B)依赖于s，t,x(C)依赖于x和t，不依赖于s(D)依赖于s，不依赖于t4. F(x)=[e"costdt,则 F(x)在[0,元]上有((A) F()为最大值,F(0)为最小值(B)F()为最大值,但无最小值(C)F()为极小值,但无极大值(D)F()为最小值,F(O)为最大值5.关于函数 f(x)=Jedt(-<x<+o)单调性与奇偶性的描述正确的是（).(A)单增，偶函数政(B)单增，奇函数(C)单减，奇函数(D)单减，偶函数福6.若[lntdt=xln(0x)，则e=（).(D) e-l(A) 1(B) é(C) e2四、解答题1．求下列函数的导数：(1)(x)="Vi+rat，求f0);(2) f(x)=[,intdt,(a>0)，求z;(3）Jed+f.cosidt=0，求崇dx2.利用牛顿一莱布尼兹公式计算下列定积分：(1) 'xdx ;(2)1+x3.设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2/f(t)dt，求f(x)4．当x为何值时，函数1(x)=[te-dt有极值？5.设x→0时，F(x)=J(x2-)f"(t)dt的导数与x是等价无穷小，试求f"(0).6. 设αa()=(e -1)d,()=In(1+)d,求imB0α(x)["(e -1]dt-,x#0，问A到何值时，(x)在x=0处可导，并求1(0).7. 设f(x):x2A,x=083定积分的换元法与分部积分法
(A) φ (x)是 f (x) 在[a,b ]上的一个原函数；(B) f (x) 是φ (x)的一个原函数; (C) φ (x)是 f (x) 在[a,b ]上唯一的原函数;(D) f (x) 是φ (x)在[a,b ]上唯一的原函数. 2．设 f (x) 在[-a, a] 上连续且为奇函数，则 0 ( ) ( ) x F x = f t dt Ú 是（ ）． (A)奇函数； (B)偶函数； (C ) 非奇非偶函数； (D) （A）、（B）、（C）都不对． 3． f (x) 为已知函数, 0 ( ) s t I = t f tx dx Ú ，其中 s > 0,t > 0 则 I 的值依赖于（ ） (A)依赖于s 和t (B)依赖于s ，t, x (C ) 依赖于 x 和t ，不依赖于s (D) 依赖于 s ，不依赖于t 4． ( ) cos , x t 0 F x e tdt - = Ú 则 F(x) 在[0,p ]上有( ) (A) ( ) 2 F p 为最大值, F(0) 为最小值 (B) ( ) 2 F p 为最大值,但无最小值 (C) ( ) 2 F p 为极小值,但无极大值 (D) ( ) 2 F p 为最小值, F(0) 为最大值 5．关于函数 2 2 0 ( ) t x f x e dt - = Ú (-• < x < +• ) 单调性与奇偶性的描述正确的是（ ）． (A)单增，偶函数 (B)单增，奇函数 (C ) 单减，奇函数 (D) 单减，偶函数 6．若 0 ln ln( ) x tdt = x q x Ú ，则q = （ ）． (A) 1 (B) e (C) 2 e (D) 1 e - 四、解答题 1．求下列函数的导数： （1） 5 2 ( ) 1 x f x = + t dt Ú ，求 f ¢(1)； （2） 2 ( ) ln ,( 0) x x f x = tdt a > Ú ， 求 z ； （3） 0 0 cos 0 y x t e dt + tdt = Ú Ú ， 求 dy dx . 2．利用牛顿—莱布尼兹公式计算下列定积分： （1） 8 3 1 xdx Ú - ； （2） 1 3 1 2 1 dx + x Ú ； 3．设 f (x) 是连续函数，且 1 0 f (x) = x + 2 f (t)dt Ú ，求 f (x) ． 4．当 x 为何值时，函数 2 0 ( ) x t I x te dt - = Ú 有极值？ 5．设 x Æ 0 时， 2 2 0 ( ) = ( ) ( ) x F x x - t f ¢¢ t dt Ú 的导数与 2 x 是等价无穷小，试求 f ¢¢(0) ． 6．设 2 2 2 0 0 ( ) ( 1) , ( ) ln(1 ) x x t a x = e - dt b x = + t dt Ú Ú ,求 0 ( ) lim ( ) x x x b Æ a 7．设 2 2 0 2 ( 1) , 0 ( ) , 0 x t e dt x f x x A x Ï - Ô ¹ = Ì Ô = Ó Ú ，问 A 到何值时， f (x) 在 x = 0 处可导，并求 f ¢(0) . §3 定积分的换元法与分部积分法
一、是非题1．在计算定积分/-xdx时，可以使用x=sint进行换元法计算，72. 因为I=dt=-l，从而1=0.-dx =-J-11+t1+二、填空题1.当f(x)为偶函数时，"f(x)dx=2.设f(x)可微且积分[,Lf(x)+xf(xt)]dt的结果与x无关，则(x)=（k为任意常数）三、选择题1．设f(x)在[-a,a]上连续，则[",f(-x)dx=（）。(B) 2f°f(x)dx (C) -", f(x)dx (D)[, (x)dx(A)02．设f(n)在[0,1]上连续，令t=2x，则f"f(2x)dx=（）.(4) "(0)d (B) 5(0)d (C) 2f()d (D) (0)dr3.设(x)为连续函数，则[(1-)(+)dt=(f(D) ！(4) 0(B) 1(C) nn四、解答题1.用换元法计算下列各积分：(1)xya-xdx:(2)sin.xcosxdxdxxdx(3) ((4)x/1+x25-4xdx(5) (g(6)1 Vx+1V1-x-1dxdx(7)(8)2x+2x+2x/1+Inx(10)4cosxdx;(9)【V1+cos2xdx;1/2x+1+2dx(11)1+4/2x+12.用分部积分法求下列各积分：4lnx(1)x(2)-dx ;-dx: sin'xx4）(3)「xarctan xdx ;e2*cosxdx:xnd;(6)[(5) [' sin(lnx)dx7)
一、是非题 1．在计算定积分 3 3 2 0 1- x dx Ú 时，可以使用 x = sin t 进行换元法计算． ( ) 2．因为 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 t x I dx dt I x t = - - = = - = - + + Ú Ú ，从而 I = 0 ． ( ) 二、填空题 1．当 f (x) 为偶函数时， ( ) a a f x dx - = Ú ． 2．设 f (x) 可微且积分 1 0 [ f (x) + xf (xt)]dt Ú 的结果与 x 无关，则 f (x) = （k 为任意常数） ． 三、选择题 1．设 f (x) 在[-a, a] 上连续，则 ( ) a a f x dx - - = Ú ( ) ． (A) 0 (B) 0 2 ( ) a f x dx Ú (C) ( ) a a f x dx - -Ú (D) ( ) a a f x dx Ú- 2．设 f (x) 在［0,1］上连续，令t = 2x ，则 1 0 f (2x)dx = Ú ( ) ． (A) 2 0 f (t)dt Ú (B) 1 0 1 ( ) 2 f t dt Ú (C) 2 0 2 f (t)dt Ú (D) 2 0 1 ( ) 2 f t dt Ú 3．设 f (x) 为连续函数，则 1 2 1 1 (1 ) ( ) n n f t dt t t - + = Ú ( ) ． (A) 0 (B) 1 (C) n (D) 1 n 四、解答题 1.用换元法计算下列各积分： （1） 2 3 0 sin x cos xdx p Ú ； （2） 2 2 2 0 a x a - x dx Ú ； （3） 3 1 2 2 1 dx x + x Ú ； （4） 1 1 5 4 xdx x - - Ú ； （5） 4 1 1 dx x + Ú ； （6） 1 3 4 1 1 dx - x - Ú ； （7） 2 1 1 ln e dx x + x Ú ； （8） 0 2 2 2 2 dx x x - + + Ú ； （9） 0 1 cos 2xdx p + Ú ； （10） 2 4 2 4cos xdx p p - Ú ； （11） 4 1 0 4 2 1 2 1 2 1 x dx x + + + + Ú ． 2. 用分部积分法求下列各积分： （1） 3 2 4 sin x dx x p Ú p ； （2） 4 1 ln x dx x Ú ； （3） 1 0 x arctan xdx Ú ； （4） 2 2 0 cos x e xdx p Ú ； （5） 1 sin(ln ) e x dx Ú . （6） 1 2 0 1 ln 1 x x dx x + - Ú ； （7） 0 arctan a a x dx a x - + Ú ．
3.设函数f(x)在[0,"}上连续且满足f(x)=ecosx+[f(t)dt.试求f(x)4.设连续函数f(x)满足ff(tx)dt=f(x)+xsinx，f(0)=0.试求出f(x)的表达式。五、证明题1.若f(x)在[0,1]上连续，证明：1) (sin x)d=(cos x)dx;2) xF(sinx)dx=号(sin x)dxx≥02. 设函数f(x)=4正明f(x-2)dx = tan-1<x<0I+cosx84 反常积分一、是非题1.dx= limdx=0()1+rA1+Xdx4)((x-3)d(-)dx[-arctan211+x二.填空题1.设x=1,则A:1+:In.2.drdx当时收敛，当时积分发散.3.(x-ne三、解答题1.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值dx(2)→ +2x+2(3) [ (x+ x)e-dx(1) J. e" d(a > 0)2.求下列各广义积分：dxdx(1)(2) [.(3) [xe-dx(1+x)Wxx(1+x)dxarctgxdx:(5) [(6) f.ear cos bxdx(α >0)(4) [x+2x+2x3.利用[dx=与，计算[xerdx2dx当k为何值时，反常积分[收敛？当k为何值时，反常积分发散？又当k为何值时，这4.x(Inx)*
3.设函数 f (x) 在[0, ] 2 p 上连续且满足 2 0 ( ) cos ( ) x f x e x f t dt p = + Ú ．试求 f (x) ． 4. 设连续函数 f (x) 满足 1 0 f (tx)dt = f (x) + x sin x Ú ， f (0) = 0 ．试求出 f (x) 的表达式． 五、证明题 1. 若 f (x) 在[0,1]上连续， 证明： 1） 2 2 0 0 f (sin x)dx f (cos x)dx p p = Ú Ú ; 2） 0 0 (sin ) (sin ) 2 x f x dx f x dx p p p × = Ú Ú . 2. 设函数 2 , 0 ( ) , 1 1 0 1 cos x xe x f x x x - Ï ³ Ô = Ì Ô Ó - < < + ,证明 4 4 1 1 1 1 ( 2) tan 2 2 2 f x dx e - - = - + Ú . §4 反常积分 一、是非题 1． 2 2 lim 0 1 1 A A A x x dx dx x x +• -• Æ+• - = = + + Ú Ú ． ( ) 2． 4 4 2 0 0 1 4 [ ] ( 3) 3 3 dx x x - = = - - - Ú ． ( ) 3． 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ( ) 1 [ arctan ] 1 1 2 1 ( ) d dx x x x x p - - - = - = - = - + + Ú Ú ． ( ) 二. 填空题 1．设 2 1 1 A dx x +• -• = + Ú , 则 A = ． 2． 2 1 ln x dx x +• = Ú ． 3． 2 ( 1) p dx x +• - Ú , 当 时收敛, 当 时积分发散． 三. 解答题 1．判定下列反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值: (1) 0 ( 0) ax e dx a +• - > Ú (2) 2 2 2 dx x x +• -• + + Ú (3) ( ) x x x e dx +• - -• + Ú 2．求下列各广义积分： (1) 1 ; (1 ) dx x x +• + Ú (2) 2 1 ; (1 ) dx x x +• + Ú (3) 2 1 ; x xe dx +• - Ú (4) 2 1 ; arctgx dx x +• Ú (5) 2 ; 2 2 dx x x +• -• + + Ú (6) 0 cos ( 0) x e bxdx a a +• - > Ú 3．利用 2 0 2 x e dx +• - p = Ú , 计算 2 2 0 x x e dx +• - Ú 4． 当k 为何值时, 反常积分 2 (ln ) k dx x x +• Ú 收敛? 当 k 为何值时, 反常积分发散? 又当k 为何值时, 这