也东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 思考：复二次型的规范形是不是唯一的？ 结论 复二次型的规范形是唯一的，由二次型的秩决定， (1) 定理3 任意复二次型经过非退化的线性替换可以变为规范形， 并且规范形是唯一的. 例3 2 复二次型fx1,x2,x3)=x12+2x22+4x32-2x1x2+4x2x3 的规范形为 解 -1 1 -1 1 -1 2 24 00 1 0 1 2 4 0 0 0 则 R(A)=2 所求规范形为 2 21+z2
任意复二次型经过非退化的线性替换可以变为规范形， 并且规范形是唯一的. 思考：复二次型的规范形是不是唯一的？ 复二次型的规范形是唯一的，由二次型的秩决定. 𝐴 = 1 −1 0 −1 2 2 0 2 4 ՜ 1 0 0 −1 1 2 0 2 4 ՜ 1 0 0 −1 1 0 0 2 0 则 𝑧1 2 + 𝑧 2 . 结论 定理3 复二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2,𝑥3 = 𝑥1 2 + 2𝑥2 2 + 4𝑥3 2 − 2𝑥1𝑥2 + 4𝑥2𝑥3 的规范形为 例3 解 𝑅 𝐴 = 2 所求规范形为 (1)
也东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY (2)定理51)任一复对称矩阵A都合同于形为 的对角矩阵，其中1的个数等于R(A). 3 两个n阶复对称矩阵A,B合同台R(A)=R(B) (4) 若把合同作为分类的依据，所有的几阶复对称矩阵可分为n+1类
定理5 1）任一复对称矩阵𝐴都合同于形为 1 ⋱ 1 0 ⋱ 0 的对角矩阵，其中1的个数等于𝑅 𝐴 . (2) (3) 两个𝑛阶复对称矩阵𝐴, 𝐵合同֞ 𝑅 𝐴 = 𝑅(𝐵) (4) 若把合同作为分类的依据，所有的𝑛阶复对称矩阵可分为𝑛 + 1类
归东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、在实数域上进一步讨论二次型的标准形 在实数域上，任意二次型f(x1,x2,.,xn)=XTAX都可经过非退化线性替换 X=CY 变成标准形 dy2+.+d%2-dp+1o12-d,y2d>0,i=12., 2 其中r(4R(A) 令 1 y1=- Z1 d 1 y2=斤 Z2 d2 (5) ”*。·。 1 yr=- Zr dr yr+1=Zr+1 0”** (4) yn =Zn 2 2 2 变为 z1+.十Z)-znt1.-Zr (6
三、在实数域上进一步讨论二次型的标准形 在实数域上，任意二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯, 𝑥𝑛 = 𝑋 𝑇𝐴𝑋都可经过非退化线性替换 𝑋 = 𝐶𝑌 变成标准形 𝑦1 = 1 𝑑1 𝑧1 𝑦2 = 1 𝑑2 𝑧2 ⋯ ⋯ 𝑦𝑟 = 1 𝑑𝑟 𝑧𝑟 𝑦𝑟+1 = 𝑧𝑟+1 ⋯ ⋯ 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 4 变为 𝑧1 2 + ⋯ + 𝑧𝑝 2 − 𝑧𝑝+1 2 ⋯ − 𝑧𝑟 2 (5) 𝑑1𝑦1 2 + ⋯ + 𝑑𝑝𝑦𝑝 2 − 𝑑𝑝+1𝑦𝑝+1 2 − ⋯ − 𝑑𝑟𝑦𝑟 2 , 𝑑𝑖> 0, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑟. 其中 (4) 𝑟 = 𝑅(𝐴). 令 (6)