作f(x)在 F上的分裂域E。在E中f(x)有p个根。另其中的一个为β，那么βP=α，因而由假设，β不属于F 设β在F上的极小，多项式是k(x)，那么k(x)If(x)。但在E(x)中f(x)=xP-a=xp-βP =(x-β)所以在E(x)中k(x)=(x-β)并且由于β不属于F，这里的n>1。这样β在F上的极小多项式 k(x)有重根，因而E就是 F的一个不可离扩域。证完。满足引理2的条件的域是存在的。例如有限域
作 在 上的分裂域E。在E中 有 个根。另其中 的一个为 ，那么 ，因而由假设， 不属于 。 设 在 上的极小，多项式是 ，那么 。但 在 中 所以在 中 并且由于 不属于 ，这里的 。这样 在 上的 极小多项式 有重根，因而E就是 的一个不可离 扩域。证完。 f x( ) F f x( ) p p = a F F k x( ) k x f x ( )| ( ) E x( ) ( ) ( ) p p p p f x x a x x = − = − = − E x( ) ( ) ( ) n k x x = − F n 1 F k x( ) F 满足引理2的条件的域是存在的。例如有限域
定理2有限域的任何代数扩域都是可离扩域证明令有限域F的特征是P，并且F含q个元：ai,a2,""",ag考察F的元ap,a,",ap由于当i≠时，ap-ap =(a,-a,)±0所以αP,α，,α是q个不同的元，因而是 F的全部元素。因此F的每一元都是F的某个元的P次幂.证完不满足引理2的条件的域F当然有不可离扩域，但这样的域F仍然可以有非凡（即不属于F）的可离元
定理 2 有限域的任何代数扩域都是可离扩域。 证明 令有限域 的特征是 ，并且 含 个元： 考察 的元 由于当 时， 所以 是 个不同的元，因而是 的全部 元素。因此 的每一元都是 的某个元的 次幂.证完。 F p F q 1 2 , , , q a a a F 1 2 , , , p p p q a a a i j ( ) 0 p p p a a a a i j i j − = − 1 2 , , , p p p a a aq q F F F p 不满足引理2的条件的域 当然有不可离扩域，但这 样的域 仍然可以有非凡（即不属于 ）的可离元。 F F F