第4章解析函数的级数表示法高等数学中，无穷级数是一个十分重要的内容，它是用来在研究函数性质及进行数值计算的一种工具.在复变函数中，无穷级数同样是研究解析函数的重要工具.我们将看到，关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定理都是实变数的相应内容在复变数范围内的直接推广，一个重要的结论是解析函数可以用级数来表示：圆盘中的解析函数可以用泰勒级数来表示，圆环中的解析函数可以用罗朗级数来表示.这两类级数都是研究解析函数的重要工具，应用这些工具可以得到解析函数的一系列重要结论北京
第4章解析函数的级数表示法84.1复数项级数1.复数列和复数列的极限定义4.1设a）（n=1,2，）为一复数列，其中a,=α十i%，a=α十iβ为一确定的复数.如果对任意的正数e，存在正整数N.使得当n>N时,有la,-al<e(4.1)成立，则称α为复数列（a）当n→8o时的极限，记作lima,=a.并称复数列a）收敛于a.下面的定理说明复数列（a，）收敛等价于数列的实部和虚部组成的实数列收敛，定理4.1复数列（收敛于a的充分必要条件是lima.lim3.证如果lima.=a，则对e>0.存在正整数N.使得当n>N时，有从而有αl<lanal<e,所以有lim an= α.同理有lim β, = β.反之，如果limaw=a，limβ,=β.则对e>0,存在正整数N.使得当n>N时，有[aα号1-β号所以有an-a[<lαn-αI+lβ-l<e.即lima,=a.67
复变函数与积分变换2.复级数设a=α十i3（n=1,2.）为一复数列，表达式Van(4.2)a+a++a+-称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该级数的前n项部分和为S.=a+a2+...+a(n=l.2,...),(S.）称为该级数的部分和复数列.显然，若一般项a的虚部β。=0（n=1,2，），则级数>a.实质上是实级数，因此实级数可以看作是复级数的特例.若级数a.对应的部分和复数列（S.）收敛于常数定义4.2=1S,即limS.那么a，称为收敛的级数.数S称为该级数的和，记为a=S若limS.不存在，则称a.为发散的级数我们首先研究级数（4.2）的收敛性问题.定理4.2级数>a，收敛于S的充要条件是实级数和分别收敛于和其中S=十it，a，=α十（n=1.2...）证S.+a+.+a=ar=(αl+α2 +.. +α)+i(β+β +..+β)-o.+itnCβ.，它们分别为实级数。a和其中.β的部分和aisTa由定义4.2及定理4.1,S。收敛于S的充要条件是（）和（t）分别收敛于和，从而定理得证.定理4.2表明，复级数的收敛问题可以转化为实级数的收敛问题，因此有关实级数的性质和收敛判别法可以推广到复级数中，下面我们看到实级数的一些重要性质的推广，定理4.3复级数>a收敛的必要条件是68
第4章解析函数的级数表示法lima,=0.由定理4.2，>a，收敛的充要条件是对应的两个实级数a证和β均收敛，其中a%=a+i（n=1,2，）.高等数学的结论指出：实级数收敛的必要条件是其通项的极限为零.于是，有limα=0,limβ,=0,从而得到lima, =o.对于复级数a，若「a「收敛，则称级数a定义4.3绝对收敛；若「aa「发散，而a.收敛，则称级数》an条件收敛.定理4.4如果级数入a绝对收敛，则》也收敛且不等式Q.丨a「成立出证记a=α十i（n=12，），则有ZIa. l=EVa+p.由于「am≤α+B，Iβm|Vα+β.因此根据实级数的比较准则可知，α和β均收敛，于是a，是收敛的.由三角不等式2a|≤21al.又limZlaa[=Zlal,故有lim2a|lim21a,即2a≤21al.利用不等式la=a+g≤lα|+lβ「很容易得到下面的结论.69
复变函数与积分变换推论4.1设=+i（n=1.2..）则级数a绝对收敛的充要条件是级数和都绝对收敛顺便指出，由于刁「a「的各项都是非负的实数，因此它的收敛性可用正项级数判别法来确定，例4.111下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（3i)")（3）[+(1)7(1+-：(2)1n！(3i)3"，由正项级数的比值判刘法和≥兴收效可知，原级数为绝对解(1)n!n!in!收敛.，因为(2)(1+)e/al=(1+)cos 元+i(1+sin7)sin元=0.Jcos元lim(1+1.lim(nnh所以级数的一般项的极限为lim(1)n/1由定理4.3知1+eix发散(3） 因为二收效,≥A收敛，所以原级数收敛，但（—1)为条件收敛，由推3%1n11论4.1知原级数为条件收敛，$4.2幂级数1.幂级数的概念解析函数最重要的性质之一是可以展开成幂级数，而幂级数在它的收敛圆内确定了二个解析函数，所以解析函数的幂级数表示是解析函数的一种最简单的分析表达式。所谓幂级数，是指形如.70