行列式的定义a11a12..aina21a22.a2n.anlan2...ann称为一个n阶行列式（determinant)。用递归的方式来定义行列式的值：当n=1时定义行列式的值为a11.设n>1.设1<i≤n,l≤j≤n.在行列式中划去第i行第i列后剩下的元素按原来的顺序构成的（n－1）阶行列式称为aii的余子式，将它的值记作Mi:将n阶行列式的值定义为(-1)i+laiMil2== a11M11 - a21M21 +... +(-1)n+laniMn1.记Aii=（-1)i+iMi，称为ai的代数余子式。则上面式子可以写成aiAi= a11A11+a21A21+..+an1Anl.行列式通常用一个大写字母表示，一般情况下该字母也代表行列式的值。有时也采用A=lail或A=lail1<ij<n这样简单的记号
1ª½Â a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · an1 an2 · · · ann ¡ n 1ª (determinant)" ^48ª5½Â1ªµ n = 1 ½Â1ª a11. n > 1. 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. 31ª¥y1i 11 j eU5^S¤ (n − 1) 1 ª¡aij {fª§ò§P Mij . ò n 1ª ½Â X n i=1 (−1)i+1ai1Mi1 = a11M11 − a21M21 + · · · + (−1)n+1an1Mn1. P Aij = (−1)i+jMij , ¡ aij ê{fª"Kþ¡ ªf±¤ X n i=1 ai1Ai1 = a11A11 + a21A21 + · · · + an1An1. 1ªÏ~^i1L«§¹eTi 1L1ª"kæ^ A = |aij | ½ A = |aij |1≤i,j≤n ù{üPÒ"
·当n=2时行列式的值是a11a22一a21a12.·当n=3时行列式的值是a22 a23a12a12a13a13a11+ a31- a21a22a23a32a33a32a33=a11(a22a33—a23a32)—a21(a12a33-a13a32)+a31(a12a23—a13a22)11a22a33+a12a2331+a21a32a13—a11a23a32—a12a21a33—a13a22a31
• n = 2 1ª´ a11a22 − a21a12. • n = 3 1ª´ a11 a22 a23 a32 a33 − a21 a12 a13 a32 a33 + a31 a12 a13 a22 a23 = a11(a22a33−a23a32)−a21(a12a33−a13a32)+a31(a12a23−a13a22) = a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
行列式的性质形为a1la12.ain0a22...a2n...00ann的行列式叫做上三角行列式。也就是说ai=0对所有i>j成立。下三角行列式也可类似定义。元素a1,a22,…，amm构成行列式的主对角线
1ª5 / a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n · · · 0 0 · · · ann 1ªþn1ª"Ò´`aij = 0 é¤k i > j ¤á"en1ªaq½Â" a11, a22, · · · , ann ¤1ªÌé"
引理0.1.设1≤k≤n.则下三角行列式中al的余子式仍是下三角行列式。如果k>1则a1的余子式的左上角元素为零。证明：将a1的余子式记作b11b12b1,n-1...b21 b22...b2,n-1bn-1,1bn-1,2.bn-1,n-1则aij+1 : i<kbiilai+1,j+1：i≥k由于当i<j时ai,j+1和ai+1,j+1都等于零，因此只要i<j，不管i<k还是i≥k，bii总是等于零。这说明所讨论的余子式是下三角的。当k>1时，b11 =12=0
Ún0.1. 1 ≤ k ≤ n. Ken1ª¥ ak1 {fª E´en1ª"XJ k > 1 K ak1 {fªþ "" y²µòak1 {fªP b11 b12 · · · b1,n−1 b21 b22 · · · b2,n−1 · · · bn−1,1 bn−1,2 · · · bn−1,n−1 . K bij = ai,j+1 : i < k ai+1,j+1 : i ≥ k du i < j ai,j+1 Ú ai+1,j+1 Ñ u"§Ïd i < j, Ø+ i < k ´ i ≥ k, bij o´ u""ù`²¤?Ø {fª´en" k > 1 § b11 = a12 = 0. ✷
性质1）上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。证明：用数学归纳法。性质2）若行列式的某行或某列中的元素全是零，则行列式的值等于零。证明：对行列式的阶数n进行归纳。当n=1时a11=0.结论成立。假定性质对n-1阶行列式成立。设n阶行列式的第k列中元素全是零。若k=1.则行列式的值等于0A11+0A21+..+0An1=0若k>1.则根据归纳假设A11 = A21 = ..· = Anl = 0因此行列式的值等于零。再设n阶行列式的第k行中元素全是零。则ak1=0而根据归纳假设Ai=0对所有i≠k成立。因此aiAi1=0对1≤i≤n成立。所以行列式的值等于零
51¤þ£e¤n1ª uÌéþ ¦È" y²µ^êÆ8B{" 52¤e1ª,1½,¥ ´"§K1 ª u"" y²µé1ª ê n ?18B" n = 1 a11 = 0. (ؤá"b½5é n − 1 1ª¤á" n 1ª1 k ¥ ´""e k = 1. K1 ª u 0A11 + 0A21 + · · · + 0An1 = 0. e k > 1. Kâ8Bb A11 = A21 = · · · = An1 = 0. Ïd1ª u"" 2 n 1ª1 k 1¥ ´""K ak1 = 0 â8Bb Ai1 = 0 é¤k i 6= k ¤á"Ïd ai1Ai1 = 0 é 1 ≤ i ≤ n ¤á"¤±1ª u""✷