试卷四参考答案一、判断题（正确的打“/”，错误的打“×”每题2分，共20分）1、×2、V3、×4、V5、V6、×7、V8、V9、V10、×二、填空题（每题2分，共20分）单连域1、2、复平面上处处3、v(x,y)4、4元；15、6、7、Res-8、W=+09、F[r(at)]=Ha0310、9+52/
1 试卷四 参考答案 一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”每题 2 分，共 20 分） 1、× 2、√ 3、× 4、√ 5、√ 6、× 7、√ 8、√ 9、√ 10、× 二、填空题（每题 2 分，共 20 分） 1、 单连域 2、 复平面上处处 3、 v(x, y) 4、 4i ； 5、 e 1 ； 6、 一 7、 , 1 1 Re = − z s ； 8、 z i z i w + − = ； 9、ℱ ( ) = a F a f at 1 ； 10、 2 9 3 + s
三、求解下列各题（每题5分，共30分）1、解：方程3+8=0即23=-8，它的解就是z=(-8)，按公式得(2k+1)元,(2k+1)/-8e3=2e(k = 0,1,2)-8)3 ==W(所依方程有三个解，它们是W=2e2(cs+sn)1+-3分(0°33W, =2e'P =2(coS元 +isin 元)=-2-------4分5元005元5元）=1-i/3+isin--5分2lcosW,=2e333a'uOu = 3x? +12xy-3y2,2、解：=6x+12y,ax?axa'uOu =6x2 -6xy-6y2,=-6x-12y,dy2ay在z平面有+=0,axay?故u(x,y)在z平面上是调和函数-2分v(x, y)= [a) -(6x2 - 6xy-6y2 )ix +(3x +12xy- 3y2 )bly= J(- 6x*)ix + "(3x2 +12xy-3y2)by-2x3+3xy+6xy2-y3+Cf()=u(x,y)+iv(x,y)= x3 +6x y-3xy2 -2y3+i(-2x3 +3x* y+6xy2 - y* +C)----4分()= (1- 2i)=3 +iC由条件f(o)=0,得C=0,于是f()=(1-2i)-3----5分sin?z3、解：令f(z)=在|==2内，函数f()有两个奇点。22(z-1)z=0为可去奇点，Res[f(2),0]=0，--2分2
2 三、求解下列各题（每题 5 分，共 30 分） 1、解：方程 8 0 3 z + = 即 8 3 z = − ，它的解就是 ( )3 1 z = − 8 ，按公式得 ( ) (2 1) 1 3 3 8 8 3 k i e + − = − ( ) 2 ( 0,1,2) 3 2 1 = = = + e w k k k i 所依方程有三个解，它们是 1 3 3 sin 3 2 2 cos 3 0 w e i i i = + = = + -3 分 1 = 2 = 2(cos + sin ) = −2 w e i i -4 分 1 3 3 5 sin 3 5 2 2 cos 3 5 2 w e i i i = − = = + -5 分 2、解： 3 12 3 , 6 12 , 2 2 2 2 x y x u x x y y x u = + = + − 6 6 6 , 6 12 , 2 2 2 2 x y y u x x y y y u = − − = − − 在 z 平面有 0 2 2 2 2 = + y u x u , 故 u(x, y) 在 z 平面上是调和函数. -2 分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y x y y C x dx x x y y dy v x y x x y y dx x x y y dy x y x y = − + + − + = − + + − = − − − + + − 3 2 2 3 0 2 2 0 2 2 2 , 0,0 2 2 2 3 6 6 3 12 3 , 6 6 6 3 12 3 f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) = 3 2 2 3 x + 6x y − 3xy − 2y + ( 2 3 6 ) 3 2 2 3 i − x + x y + xy − y +C -4分 f (z) = ( − i)z + iC 3 1 2 . 由条件 ( ) ( ) ( ) 3 f 0 = 0,得C = 0,于是f z = 1− 2i z -5 分 3、解：令 ( 1) sin ( ) 2 2 − = z z z f z ，在 | z | = 2 内，函数 f (z) 有两个奇点． z = 0 为可去奇点，Res[ f (z), 0] = 0，-2 分
z=1为一阶极点，Res[f(=),1]=lim(=-1)f(-)sin?z=sin?1,-4分2原式=2元i(Res[f(=),0]+Res[f(2),1)=2元isin"1---5分4、解：1113分3.Z+1z +1-3z-23+2++++1-4分(z+1) +1<3 -----5分2n+15、解：由于z=0是f(2)的二阶极点，--2分1d(2-0pe有Rel/0- - m [-4分= lim (e-)=1----5 分6、解：令21=22，则W=三+i-2分z -i(W)（2(z)+i821-i21=2(4 分)(5 分)即像区域为单位圆的外部(如图)。注：本题也可由21=2，2=-11三步完成。wz, +i2四、求下列函数的积分变换（8分+7分，共15分）1、解F(o)=F[r(0)]- f(e-ja'd -----3 分= (0le-(a+j0)dt3
3 z = 1 为一阶极点，Res[ ( ), 1] lim ( 1) ( ) 1 f z z f z z = − → sin 1 sin 2 1 2 2 = = z= z z ，-4 分 原式 2 (Res[ ( ), 0] Res[ ( ), 1]) 2 sin 1 2 = i f z + f z = i -5 分 4、解： ( ) 分 分 1 1 3 5 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 3 1 1 1 3 1 1 3 1 2 1 0 1 2 + + − − − − − − = + + + + + + + = − + − − − − − + − = − + − = − = + z z z z z z z z n n n n -4 分 5、解：由于 z = 0 是 f (z) 的二阶极点，-2 分 有 ( ) ( ) ( ) − − = → 2 2 0 lim 0 2 1! 1 Res[ ,0] z e z dz d f z z z -4 分 lim ( ) 1 0 = = → z z e -5 分 6、解：令 2 1 z = z ，则 z i z i w − + = 1 1 ，-2 分 (4 分) (5 分) 即像区域为单位圆的外部(如图)。 注：本题也可由 2 1 z = z ， z i z i z + − = 1 1 2 ， 2 1 z w = 三步完成。 四、求下列函数的积分变换（8 分+7 分，共 15 分） 1、解 F() = ℱ f (t) f (t)e dt − j t + − = -3 分 ( ) ( ) f t e dt − + j t + = 0 (z) (z1) (w) 1 2 1 z = z z i z i w − + = 1 1
1α-jo-6分α+0?α+jo1-7分振幅谱为|F(o)=Ja?+0?-8分相位谱为argF(o)=-arctanα1(ejet2、解(1)由于sinot-2分2j-jo有 [(0]=[sin oi]=[ (ejar - (e-jar)]----3 分210-4分-ja-+ja)52+0(2)[f()]=[sin tcost]=2[sin21]-----2分211-3分2+2252+4五、实验题（每题3分，共15分）1、解syms z;f=exp(2*z)/((z2)*(cos(z)));--2分diff(f)------3 分2、解symszxl=int(cosh(3*z),Z,pi/6*i,0)x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i)3、解-1分syms z a b;f=1/(z-b): --2分taylor(f,z,a,4)------3分4、解-1分syms t wf=2*(sin(3*t))~2;---2分F=fourier(f)------3分5、解syms t s;-1分syms omega;f=sin(omega*t);----2分L=laplace(f)----3分4
4 2 2 1 + − = + = j j -6 分 振幅谱为 ( ) 2 2 1 + F = -7 分 相位谱为 ( ) = − arg F arctan -8 分 2、解 （1） 由于 ( ), 2 1 sin j t j t e e j t − = − ℒ s j e j t − = 1 -2 分 有 ℒ f 1 (t)= ℒ j t 2 1 sin = [ℒ ( ) j t e - ℒ ( ) j t e − ]-3 分 = 2 2 1 1 2 1 + = + − j s − j s j s -4 分 （2）ℒ f 2 (t)= ℒ 2 1 sin t cost = ℒ sin 2t-2 分 4 1 2 2 2 1 2 2 2 + = + = s s -3 分 五、实验题（每题 3 分，共 15 分） 1、解 syms z； f=exp(2*z)/((z^2)*(cos(z)));-2 分 diff(f)-3 分 2、解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0) x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i) 3、解 syms z a b; -1 分 f=1/(z-b); -2 分 taylor(f,z,a,4) -3 分 4、解 syms t w -1 分 f=2*(sin(3*t))^2; -2 分 F=fourier(f) -3 分 5、解 syms t s; syms omega; -1 分 f=sin(omega*t);-2 分 L=laplace(f)-3 分
5
5