《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 空间解析几何与向量代数 7-7 平面与空间直线

例5求平行于平面6x+y+6z+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程N2+兰+解设平面为二baC11: V =1,abc:3 2由所求平面与已知平面平行得1.（向量平行的充要条件）661经济数学微积分

例 5 求平行于平面6x + y + 6z + 5 = 0而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 设平面为 + + = 1, c z b y a x x y z o V = 1, 1, 2 1 3 1   abc = 由所求平面与已知平面平行得 , 6 1 1 1 6 1 a b c （向量平行的充要条件） = = 解

111?11化简得Ab6ab6c6c6a11C6t6t代入体积式11I66t6t6t.a=1, b=6,c=1,所求平面方程为6x + y + 6z = 6.经济数学微积分

, 6 1 1 6 1 a b c 化简得 = = 令 t a b c = = = 6 1 1 6 1 , 6 1 t  a = , 1 t b = , 6 1 t c = t t 6t 1 1 6 1 6 1 1 =    代入体积式 , 6 1  t = a = 1, b = 6, c = 1, 所求平面方程为 6x + y + 6z = 6

两平面的相互关系(1)II,II, ←=AA +B,B, +CC, =0;BfCA .(2)Ⅱ,//II,←→C,AB,(3) ⅡI,与IⅡI,相交两平面的夹角相交程度的反映指标→经济数学微积分

1 2 (1)  ⊥ 0;  A1A2 + B1B2 + C1C2 = 1 2 (2)  //  . 2 1 2 1 2 1 C C B B A A  = = (3) 1 与2 相交 两平面的相互关系 相交程度的反映指标 两平面的夹角

两平面的夹角定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角：（通常取锐角）nII, : Ax+By+Cz+D, =0n9II2 : Ax+B,y+C,z+D, = 0,12n =(A,B,C),IIn, =(A2,B,C2)经济数学微积分

定义 （通常取锐角） 1 n1  2 n2   两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. : 0, 1 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = : 0, 2 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = n A B C 1 1 1 1 = ( , , ,) n A B C 2 2 2 2 = ( , , , ) 两平面的夹角

按照两向量夹角余弦公式有I AA, + B,B, +C,C2 /cosA=A?+B?+C? .A,?+B,?+C,两平面夹角余弦公式经济数学微积分

按照两向量夹角余弦公式有 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 | | cos A B C A B C A A B B C C + +  + + + +  = 两平面夹角余弦公式