《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 空间解析几何与向量代数 7-4 二次曲面

第四节二次曲面一、二次曲面二、小结思考题经济数学微积分

一、二次曲面 二、小结 思考题 第四节 二次曲面

一、二次曲面二次曲面：三元二次方程所表示的曲面。讨论二次曲面性状的方法：截痕法（methodofsections)用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌经济数学微积分

二次曲面：三元二次方程所表示的曲面。 讨论二次曲面性状的方法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 截痕法( method of sections) 一、二次曲面

1.椭圆锥面(a,b为正数）20在平面z=t上的截痕椭圆2X(1)z=t(bt)(at)?在平面x=0或v=0上的截痕为过原点的两直线。可以证明,椭圆(1)上任一点与原点的连线均在曲面上经济数学微积分

z x y 1.椭圆锥面 2 2 2 2 2 x y z a b + = z t = (1) 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 + = bt y at x , z = t 可以证明, 椭圆(1)上任一点与原点的连线均在曲面上. x y z O （a, b为正数） 在平面 上的截痕椭圆

伸缩变换在xOy平面上，把点M(x,y)变为点M'(x,ay)从而把点 M的轨迹C变为点M'的轨迹C'，称为把图形C沿v轴的方向伸缩a倍变为C".假如C为曲线F(x,y)=0,点M(xi,y)eC,点M变为点M(,),其中=X=,即=,=因为点 MeC，有 F(x,)=0, 故 F,)=0,因为点M(x,J2)的轨迹C'的方程为F()=0.华经济数学微积分

伸缩变换 在 xOy 平面上，把点 M x y ( , )变为点 M x y ( , ,  ) 从而把点 M 的轨迹 C 变为点 M的轨迹C ，称为把 图形 C 沿 y 轴的方向伸缩 倍变为C . 假如 C 为曲线 F x y ( , 0, ) = 点 M x y C ( 1 1 , , ) 点 M 变为 点 M x y ( 2 2 , , ) 其 中 2 1 2 1 x x y y = = , ,  即 1 2 1 2 1 x x y y , ,  = = 因 为 点 M C ， 有 F x y ( 1 1 , 0, ) = 故 2 2 1 F x y , 0,      =   因为点 M x y ( 2 2 , )的轨迹C 的方程为 1 F x y , 0.      =  

例如b把圆x+=α沿轴的方向伸缩倍，就变成Dx4=1椭圆a?62类似地，把空间图形沿yb轴伸缩=倍，就变成椭圆锥面t2-62经济数学微积分

例如 把圆 2 2 2 x y a + = 沿 y 轴的方向伸缩 b a 倍，就变成 椭圆 2 2 2 2 1. x y a b + = 类似地，把空间图形沿 y 轴伸缩 b a 倍，就变成椭圆锥面 2 2 2 2 2 . x y z a b + = x y z O